究竟叫咩好 2018-10-24 02:08:54 如果你唔心急就等樓主教LA,

心急既: 一般讀finance會學將d野discount返去time 0就係個price, 但一般做pricing係無可能知個discount rate係咩 (知左咪姐係知個price lo仲洗做咩

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risk neutral pricing 就係透過做一d transformation令到一個risky asset既discount rate係 risk-free rate

事實上, 咁講唔係好岩, 因為risk neutral pricing可行係因為根據girsanov's theorem, 一般牽涉geometric browian motion 既asset都可以transform 去第個世界做martingale, 而price at time 0 = V(0) = e^(r*0)*V(0)=E[e^(rt)*V(t)| F0] =e^(rt)*E[V(t)] - in risk neutral world

沈船合體機械人 2018-10-24 02:19:17 Bro 可唔可以解下Garch model

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宇智波月巴 2018-10-24 02:47:46 GARCH 全名係 Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity
其實就係用黎model stochastic volatility

依家black scholes我地仲係當mean同volatility係constant
不過現實volatility一定唔會係constant
所以σ自己背後其實都係比另一啲stochastic process govern住
而GARCH就係其中一種process
(其實仲有好多唔同嘅model, e.g. Heston, CEV...)

而舉個例子 如果v=variance follows GARCH(1,1)
咁v嘅stochastic process就係define by:


ω 你可以當係mean long-term volatility,
θ 就係個rate for volatility reverting back to its mean
ξ 就係volatility of the volatility process
而dB_t 其實都係wiener process
不過dW_t同dB_t係有correlation ρ

詳細嘅math就唔講得咁detail
(肯定會嚇走曬所有人

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起碼都講完black scholes先

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沈船合體機械人 2018-10-24 03:02:19 想問下其實要睇得明上邊條formula 同 notation 既意思（ volatility reverting back to its mean，
ξvolatility of the volatility process，wiener process） 其實需要咩程度

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重記得上financial econometric 個陣lecturer 話唔需要數底但係堂堂都喺度prove啲數, 其實完全掌握唔到...

Btw, 巴打好有心,好多謝你

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宇智波月巴 2018-10-24 07:42:23 其實學呢啲冇可能唔需要數底
我覺得巴打應該係數底唔夠 基礎打得唔好
所以先掌握唔到
數學就係咁 如果foundation打得唔好 繼續學上去就好易出事 而且係冇得速成
我上面有個cm講過要睇得明stoc cal起碼要識啲咩 巴打可以碌返上去望下

不過冇數底又唔代表唔會明 (好似冇講過嘢咁

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因為呢個世界有樣嘢叫youtube

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如果巴打英文唔差 大可以上youtube慢慢睇片
好多片都真係幫到大家清concept 或者由淺入深講一啲數學嘅topic
你上去打GARCH model其實已經有好多resources
唔同程度任君選擇 真係可以唔明睇到明

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希望幫到你

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有名你叫好人 2018-10-24 07:54:02 文科仔追緊

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妙爾尼爾 2018-10-24 08:11:44 就咁講應該好難睇得明。。

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Exotic 2018-10-24 14:47:06 其實科financial engineering 好濕滯
係quant 同derivatives 枱先會用到
但成行又有幾多quant 同deri 人

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沈船合體機械人 2018-10-24 18:09:11 巴打多謝你，‘數底唔夠 基礎打得唔好同數學就係咁 ，如果foundation打得唔好 繼續學上去就好易出事 而且係冇得速成’ 2樣都講得好岩，我係出左黎做野幾年想再讀上去,有興趣之餘同埋讀e&f出路錢途好似都比較好所以就想pick up 番

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Thank you so much for your help

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宇智波月巴 2018-10-24 19:42:18 肯花時間就ok㗎啦
大家一齊加油

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今日上完lecture都發覺自己數底唔夠好

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FaceID 2018-10-24 19:49:29 lm

DavidHilbert 2018-10-24 20:26:32 lm學野 放低左數學兩年

彩老母 2018-10-24 20:51:42 讀過留名

宇智波月巴 2018-10-25 23:09:52 3.) Black-Scholes-Merton Model

好啦大家我地又繼續stoc cal嘅旅程

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上回提要:
上一個post我地已經講到Black-Scholes equation
但係為咗等懶得追post嘅人都知道我地做緊乜
我就好快同大家review一次我地究竟做過啲乜啦

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首先我地假設stock price(股票價錢)係follow Geometric Brownian Motion (GBM)
就好似下面呢幅圖咁:

咁S就係stock price啦 S_t就係呢隻stock at time t 嘅price
而T就係我地concern嘅Maturity time point
乜嘢嘅Maturity? 當然就係我地最終想知道嘅嗰隻derivative到期嘅日子啦

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但係再講落去之前 我知道未接觸過stoc cal嘅大家齋睇條式應該一頭霧水
你地心裏面正常係會問以下嘅問題

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:follow GBM嘅stock price有乜咁特別? 同現實世界嘅有乜唔同?

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: 現實啲股票嘅圖表乜樣都有 你個model係咪真係咁把砲一條式就包曬?

咁我都可以老實答你 其實呢個model係錯嘅
點解錯? 佢錯嘅原因有三 三個都好簡單

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1.)大家睇返我上個cm講嗰啲assumption 現實世界有冇可能做到?

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2.)上面我地假設咗σ係constant 即係volatility係constant 事實係咪咁呢?
3.) 大家仲記唔記得wiener process係continuous everywhere but no where differentiable? 咁S_t講到尾都係wiener process砌出黎 佢同樣有呢個property 但係現實世界嘅stock price係咪真係continuous everywhere?
(p.s. Black-Scholes-Merton model嘅問題我係呢個section差唔多尾聲就會詳細講一次

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雖則係錯嘅model 但係每一個model都總有佢嘅用處
如果唔係我都唔洗花咁多筆墨介紹Black Scholes

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Follow GBM嘅stock price其實已經非常非常似現實世界嘅stock price movement
大家如果仲記得 Follow GBM嘅stock price係會有Close form (上面幅圖嘅S_T)

咁我依家就假設T = 1 (year) 換言之即係Maturity係一年之後
然後因為close form裏面嘅T同t其實係求其揀 (arbitrarily chosen)
只要揀嘅兩個time point a,b 都係 0<=a<b<=T就可以
咁我就可以利用呢樣嘢 將time = 0 (now) 到 time = T =1 (maturity) 之間嘅interval割開m份
然後不斷用close form搵中間每一個step嘅price
最尾就plot到一幅follow GBM嘅stock price出黎啦

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(p.s. 下圖係用vba plot sample path係兩條)

首先m = 100 (即係割開100份 由t=0出發 S_0經歷100個step先到S_T)

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然後係m = 500

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大家可以見到其實真係好似好似現實世界嘅stock price

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只係大家要bare in mind我啱先喺上面講嗰兩個問題
記住呢個model唔係100%啱 (雖則根本冇一個model係100%啱

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咁好啦 assume咗stock price嘅process 就到我地真正想搵嘅derivative出場

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如果我地有一個derivative f 而佢嘅underlying係S
(e.g. For simplicity 大家可以當係european call/put)
咁我地就可以連埋隻stock砌以下呢個portfolio出黎


跟住靠self-financing portfolio嘅property (唔會有額外嘅資金流入or流出呢個portfolio)
呢個portfolio嘅differential form就可以寫成下圖咁樣 (唔depends on dh_1 and dh_2)


之後再靠我地assume咗嘅stock price process同ito's lemma
經過一輪運算 我地就砌到Black-Scholes equation出黎啦

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(當然我地亦都要specify埋f係maturity嘅payoff)


我地剩低嘅任務其實話難唔算難 但係亦都講唔上係容易
就係要搵一個(可能唔止一個)可以satisfy上面嗰條BS equation (pde)嘅 f

點解我話唔算難? 因為solve pde嘅精髓其實只係得一個字: Try! (猜)
只要你specify到一個f出黎 而你代f入去LHS = RHS 咁呢個f就係我地想要嘅嘢

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無論你用乜solve PDE嘅technique 背後嘅原理都只係猜!

咁點解我又話講唔上容易? 你地都應該估到啦
點撚樣諗個f出黎try先得㗎

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我冇方向咁try試撚到死都未solve到啦
但係大家唔洗驚 因為大家連try嘅時間都可以慳返

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下一個cm介紹嘅Feynman-Kac formula會為大家即時解決所有煩惱

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唔洗1秒即刻知道個f係乜

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剩返1200幾字應該講唔曬 一樣下個cm再戰

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食蕉唔連皮 2018-10-25 23:18:40 此回覆已被刪除

後門小狗公 2018-10-25 23:21:37 留名支持&感謝
利申：Riskman Year1 對自己major極陌生

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食蕉唔連皮 2018-10-25 23:22:27 此回覆已被刪除

宇智波月巴 2018-10-25 23:24:24 其實都唔可以叫科普啦

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我都知99%冇calculus底嘅人係唔會明
呢個post志在分享下大學入面嘅financial mathematics究竟搞緊乜
等有興趣嘅人可以自己再睇多啲
同時我都希望連登隨咗財經台啲圖表佬之外仲有第二把聲音

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宇智波月巴 2018-10-25 23:25:17 我覺得未講到已經會嚇走曬啲人

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不過我會盡力

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宇智波月巴 2018-10-25 23:28:00 呢啲嘢你year 4就會學到

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食蕉唔連皮 2018-10-25 23:46:50 此回覆已被刪除

薯餅 2018-10-26 00:53:39 唔該哂

我純綷為興趣學數

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生物股長 2018-10-26 01:09:06 要學後面feynman果堆 前題係要佢take果個course

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btw星期六見

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生物股長 2018-10-26 01:12:05 頭3年係學d完全看似同risk man無關既基本野，例如math/stat course，但就係用黎幫助你讀到4字頭course果陣，更有效咁去理解呢個post既野

宇智波月巴 2018-10-26 01:41:21 3.) Black-Scholes-Merton Model

b.) Feynman-Kac formula
係真正講Feynman-Kac之前 我想再做多少少introduction先
咁大家就會明得更快更深刻

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我地依家問緊嘅問題其實有一個formal嘅名
就係叫做Cauchy problem (其實係其中一個special case)
(p.s. Cauchy呢個痴線佬真係無處不在

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大家請睇下圖


其實我又呃咗大家 呢個問題同我地原先問緊嘅嘢其實差少少
大家仲記唔記得Black Scholes equation最尾有個 -rf term?

所以上面嗰個Cauchy problem其實唔exactly係我地想知嘅嘢

不過大家諗下 其實呢個Cauchy problem可以話係我地真正想知嘅問題嘅簡化版
如果我let -rf = 0 咁Black Scholes equation咪同Cauchy problem一模一樣囉

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所以Cauchy problem其實就係問緊有邊啲f係satisfy呢個simplest case嘅pdf
大家有學過pde都知 solve咗simplest case其實就已經等於完成咗一半(general solution)
所以我地就搞掂咗Cauchy problem先啦

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但係各位神奇嘅事情發生啦 我地其實已經搵到個f

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正確黎講係Feynman (Richard Feynman)同Kac (Mark Kac)幫我地搵到個f出黎

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Feynman-Kac formula正式登場!


好啦我相信去到呢一步已經嚇走咗唔少人

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剩低落黎嘅都係勇者

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我地繼續

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點解我話Feynman同Kac已經幫我地搵到個f?
大家再睇真啲條formula 個f咪清清楚楚咁寫咗出黎
個f(t,s)就係E[φ(S_T )] 但係S係一個stochastic process咁解

咁大家可能又會問

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:喂 我地之前咁辛苦將SDE變做pde 依家又變返SDE 你係咪又痴撚咗線?
大家唔好燥住 聽我講埋先

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如果變返就咁一條SDE咁梗係冇用啦
但係依家我地真正關心嘅係f(t,s)
而依家我地知道f(t,s)其實等於一個Stochastic process S嘅function嘅expectation
咁嘅話就完全唔同講法

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B而如果大家有讀過stat 知道expectation係點做嘅話
其實就會知道expectation只不過係integrate個 φ(S_T )*pdf in the whole domain
依家起碼叫做得到先

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雖然in嘅過程可能好漫長
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但係大家唔好唔記得 我地其實未完成一開頭嘅任務
仲記唔記得cauchy problem其實只係我地原本條問題嘅簡化版? (let -rf = 0)
我地搵完簡化版嘅f (general solution)

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係時候搵埋真正Black Scholes equation嘅f (Particular solution)

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呢個時候就要出動finance版嘅feynman-kac formula

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大家可以見到 唔同嘅地方只係highlight咗做紅色嘅嘢
依家條pde同我地問緊嘅問題完全一樣
而呢個f(t,s)就係我地真正想要嘅嘢

咁大家再諗返 我地依家只要將Black shcoles equation放入去就會自動搵到個f
咁點解唔咁做?

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咁依家剩返嘅嘢只係specify一個φ 然後做一次expectation就搞掂
比如好似european call咁 佢at maturity嘅payoff係 φ(S_T) = Max(S_T - K, 0)
where K is the strike price
而我下一個section就會示範一次點樣塞返呢一個 payoff φ落我地上面嘅Expectation入面
然後搵出BSM model嘅european call price formula

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不過如果大家細心再留意下上面幅圖
其實仲有一個地方係好值得研究 甚至稱得上係不可思議
你地再留意下S follow個條SDE 睇下有乜特別

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: 咦? 係喎 我地一開始話S follows GBM 應該係下面幅圖嘅第一條先啱喎
點解做做下數最尾會變撚咗第二條?

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大家放心 唔係我on9做錯數 亦都唔係Feynman同Kac on9
呢個就係Option Pricing 嘅精髓 --- Risk neutral pricing
簡而言之 當你price一個derivative嘅時候 知道underlying實制嘅mean係完全冇用
只要你知道risk-free rate就可以price到呢隻derivative

大家可能仲未消化到上面堆嘢 所以未理解到Risk neutral pricing有幾震撼
但係呢個concept真係可以話係我成個post嘅精髓
上面講嘅全部公式你唔明唔緊要
但係只要你理解到呢個concept 基本上你已經明白咗一半Option pricing

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下一個section我就會一一為大家道來

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補充少少背景資料

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其實原本feynman-kac formula係關Quantum physics事
你見到條formula嘅名有Richard Feynman都知

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咁點解無端端會攞咗過黎Finance呢度用?
事緣就係Black (Fischer Black)同Scholes (Myron Scholes) chok到條BS equation之後
一直都搵唔到一個f嘅analytical solution (但係佢兩個本身已經好勁 當時兩位都係MIT嘅prof)
佢地甚至搵過啲Physics嘅PHD student 請佢地試下solve個f出黎
不過都係無料到

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最尾大家都應該估到
Merton就係第一個搵到呢個f嘅人 (所以個model先有Merton嘅名係度)
而佢就係察覺到原來Quantum Physcis呢個field 一早已經問過類似嘅問題 而且仲有條formula係度
咁直接攞黎用咪得囉

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(當然佢修改過嘅版本就係所謂嘅"Finance版Feynman-Kac formula)