狐狸叔叔 2017-12-20 22:39:23

Q: 點解唔會出現 infinity - infinity?

因爲唔會同時係positive part 同 negative part?

最後定義

:^(

所以 s_n 都係 simple.
而 by construction, 0 ≤ f(x) - s_n(x) ≤ 1/2^n for any x ∈ X.

why 1/2^n but not M/2^n ?

咁 f unbounded 點做呢? Given一個positive integer n, 我地定義

:^(

然後 f_n 都係 bounded, 而且

:^(

都係measurable (點解呢?

:^(

諗下呢個set係咩樣? 如果大家都唔明的話我可以再講解下))

f_n^-1 (a, inf] = f^-1 (a, inf] ?

1. Yes
2. Oh Typo

:^(

證明你有細心睇

:^(

thanks a lot

:^(

3. 差少少，記得分case (呢科經常要分case)

3. when a > n, should be empty set?

Elias 2017-12-20 22:50:26

Q: 點解唔會出現 infinity - infinity?

因爲唔會同時係positive part 同 negative part?

最後定義

:^(

所以 s_n 都係 simple.
而 by construction, 0 ≤ f(x) - s_n(x) ≤ 1/2^n for any x ∈ X.

why 1/2^n but not M/2^n ?

咁 f unbounded 點做呢? Given一個positive integer n, 我地定義

:^(

然後 f_n 都係 bounded, 而且

:^(

都係measurable (點解呢?

:^(

諗下呢個set係咩樣? 如果大家都唔明的話我可以再講解下))

f_n^-1 (a, inf] = f^-1 (a, inf] ?

1. Yes
2. Oh Typo

:^(

證明你有細心睇

:^(

thanks a lot

:^(

3. 差少少，記得分case (呢科經常要分case)

3. when a > n, should be empty set?

Should be greater or equal to

Elias 2017-12-21 09:59:08 其實係咪已經無人睇呢個post

:^(

考慮緊再hand waving 多d

:^(

日向葵海（主唱） 2017-12-21 10:22:49

其實係咪已經無人睇呢個post

:^(

考慮緊再hand waving 多d

:^(

:^(

Elias 2017-12-21 11:32:30

其實係咪已經無人睇呢個post

:^(

考慮緊再hand waving 多d

:^(

:^(

或者咁啦, 之後每個new post 都分兩部份, 頭半係比所有人睇, 所以幾乎無proof 即者講下條定理的圖畫
第二部份係專比有數底的人睇 (大學Calculus I & II), 咁樣大家就可以各取所需, 淨係想知 measure theory idea的淨係睇頭半, 想知details的睇埋後半
好似咁樣好D?

:^(

高遠搖搖板 2017-12-21 11:36:13

其實係咪已經無人睇呢個post

:^(

考慮緊再hand waving 多d

:^(

無 latex 有啲算式睇得比較吃力

Elias 2017-12-21 11:43:31

其實係咪已經無人睇呢個post

:^(

考慮緊再hand waving 多d

:^(

無 latex 有啲算式睇得比較吃力

我而家整緊個blog, 一來有得改, 二來show latex易D

:^(

高遠搖搖板 2017-12-21 11:46:19

其實係咪已經無人睇呢個post

:^(

考慮緊再hand waving 多d

:^(

無 latex 有啲算式睇得比較吃力

我而家整緊個blog, 一來有得改, 二來show latex易D

:^(

留名支持

利申 以前無讀過 analysis 就讀 measure theory (其實係所謂嘅 advance probability) 完全唔知佢up乜

Elias 2017-12-21 11:48:47

其實係咪已經無人睇呢個post

:^(

考慮緊再hand waving 多d

:^(

無 latex 有啲算式睇得比較吃力

我而家整緊個blog, 一來有得改, 二來show latex易D

:^(

留名支持

利申 以前無讀過 analysis 就讀 measure theory (其實係所謂嘅 advance probability) 完全唔知佢up乜

而家我覺得太數, 無讀過下數唔會知我講緊乜
同埋大家都好似kick kick地, 我又要執blog, 所以停一排先再出post

狐狸叔叔 2017-12-21 12:32:25

其實係咪已經無人睇呢個post

:^(

考慮緊再hand waving 多d

:^(

無 latex 有啲算式睇得比較吃力

我而家整緊個blog, 一來有得改, 二來show latex易D

:^(

留名支持

利申 以前無讀過 analysis 就讀 measure theory (其實係所謂嘅 advance probability) 完全唔知佢up乜

而家我覺得太數, 無讀過下數唔會知我講緊乜
同埋大家都好似kick kick地, 我又要執blog, 所以停一排先再出post

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Elias 2017-12-22 07:09:26 pish

Elias 2017-12-23 04:40:26 諗左幾諗, 之後果D好難用非數學語言表達, 同埋本身行文比較深, 唔再叫數普啦, 直接叫測度論介紹算啦

:^(

狐狸叔叔 2017-12-23 11:06:42

諗左幾諗, 之後果D好難用非數學語言表達, 同埋本身行文比較深, 唔再叫數普啦, 直接叫測度論介紹算啦

:^(

:^(

Elias 2017-12-23 11:28:13 如果真係要講到重點的話好難避開 set notion
如果幾乎唔用 set notion 的話其實講個積分打橫切就完左

:^(

狐狸叔叔 2017-12-23 11:35:24

諗左幾諗, 之後果D好難用非數學語言表達, 同埋本身行文比較深, 唔再叫數普啦, 直接叫測度論介紹算啦

:^(

:^(

如果真係要講到重點的話好難避開 set notion
如果幾乎唔用 set notion 的話其實講個積分打橫切就完左

:^(

set notation 上面都提咗咁多，唔差在

:^(

Elias 2017-12-23 11:38:58 數學底唔多的人會死哂, 所以分 version A (less math, nearly without proofs) 同 version B (more math, including proofs)
version A 貼係度, 有興趣睇proof的去個blog睇version B 應該好D?

望月新一 2017-12-23 15:06:37

:^(

離開左大學數幾年
好多已經得返印象
當年個某course做到半題已b+ 好似係

Elias 2017-12-23 15:24:31

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望月新一 2017-12-23 17:32:17

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離開左大學數幾年
好多已經得返印象
當年個某course做到半題已b+ 好似係

:^(

:^(

Elias 2017-12-24 02:40:42

:^(

Elias 2017-12-24 15:55:18 題外話 1: 咩係 Hausdorff Dimension (I)

成日聽到D人話咩 4D 電影, 又話唔係幾十維空間, 咁究竟係乜野黎?

對維度的最簡單講法係, 你需要用最少幾多個 variables 去表達個 object
------------------------------------------------

例如一條直線, 我地可以用一個 variable 去表示:
例如係平面上面的一條直線, 例如

y = 2x + 1

所以當我地知道 x 的數值的時候, 就知道 y 的數值, 用座標黎睇的話, 我地知道線上面的任何一點都會係呢個樣的野:

(x, 2x + 1)

所以我地只需要一個variable (即係 x) 就可以表達哂成條線

如果學過vector 的朋友知道可以寫做

(0, 1) + x(1, 2)

------------------------------------------------

一個實心, 圓心係origin (即係coordinates (0, 0)果點), 半徑係 1 的圓形係二維, 因爲個圓形上面的任何一點都可以用 polar form 表示:

(r, θ)

r 係同 origin 的距離, θ 係角度

Source: Wolfram Mathworld
我地需要兩個variables表達, 所以實心圓形係二維的物體

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所以D咩十幾維只係講緊需要十幾個variables去表達舊物件係乜, 而我地的眼最多只可以望到三維的物件

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下一篇會講咩係 Hausdorff Dimension

Elias 2017-12-24 16:58:09 題外話 2: 咩係 Hausdorff Dimension (II)

[size=6]密集圖案出沒注意[/size=5]

:^(

而家我地將呢個原本的 Dimension 的概念推廣, 但係點解要推廣呢? 其中一個原因係我地要研究一D好爛好噁心的圖形

:^(

, 例如 Sierpinski Triangle (其實算靚)

:^(

(Source: Wikipedia)

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Sierpinski Triangle 的 total area 係 0:

製造 Sierpinski Triangle 的方法 (如下圖):
1. 畫一個邊長係一的等邊三角形
2. 好似下圖咁分成四等份, 之後拎走正中間果份
3. 對剩低的三個細三角形重複1, 2
4. 不斷重複

(Source: Wikipedia)

我地計下每次拎走幾多area: 方便起見, 我地用 A 黎表示原本邊長係一的等邊三角形的面積

首先我地計計每一次拎走左一堆三角形之後有幾多細三角形:
因爲我地每次都將大D的三角形割成四個細三角形, 拎走中間果個, 就剩低三個細三角形, 但係我地要對所有大三角形都咁做, 所以:
拎第一次之後: 3個
拎第二次之後: 3*3 = 9個
拎第三次之後: 9*3 = 27個
拎隆N次之後: 3^N 個

:^(

而家就計每次拎走幾多面積的三角形:
第一次就拎走左: A/4 (分成四等份之後拎走一份)
第二次就拎走左: (細三角形的面積係原來的1/4, 再分成四份, 所以再細D的三角形面積係 (1/4)*(1/4) = 1/16, 而總共有三個細三角形, 所以乘3)
第三次就拎走左:
第N次就拎走左:
所以我地總共攞走左

換言之Sierpinski Triangle 面積係:

A - A = 0

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咁大家都估啦, 呢個Sierpinski Triangle既然無面積啦, 咁佢應該係一維的object啦, 但係佢同身爲一維object的直線又好唔同喎:

將一條線段放大兩倍, 我地拎到兩倍長的線段 (即係將兩條一樣長的線駁埋一齊)
但係將個 Sierpinski Triangle 放大兩倍我地拎到的唔係兩個 Sierpinski Triangles, 而係三個

:^(

:^(

:^(

:^(

:^(

所以話 Sierpinski Triangle 係一維的object好似唔make sense, 但係話佢係二維都好似唔make sense

於是數學家

:^(

痕玩一個叫 Hausdorff Dimension的野
而Sierpinski Triangle 的 Hausdorff Dimension 係 log 3 / log 2

:^(

:^(

:^(

下次會計比大家睇

:^(

Elias 2017-12-24 16:59:31 Remark. log 3 / log 2 大約等於 1.5849625

狐狸叔叔 2017-12-24 17:57:15 你唔係諗住講hausdorff measure下話

:^(