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日向葵海（主唱）
Invariant under taking limit?
點解剛才呢個部分叫做 continuity of measure？
同 continuity of real function 有咩類同之處？
Invariant under taking limit?
Elias
係, 你望返果兩條式, 就好似我地平時 real continuous function
lim f(x_n) = f(lim x_n) 咁
點解剛才呢個部分叫做 continuity of measure？
同 continuity of real function 有咩類同之處？
Invariant under taking limit?
係, 你望返果兩條式, 就好似我地平時 real continuous function
lim f(x_n) = f(lim x_n) 咁
高遠搖搖板
https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
打完 latex 會自動 gen 圖片嘅 link
進階嘅可以用mathJax
樓主以後得閒可唔可以將全文放入一個blog方便其他讀者重溫?
絕對可以呀, 有無邊個blog好用, 同support打數學公式? (重點係有得改) :^(
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Elias
其實無違反, 0.999...係一個geometric sum, 可以用 DSE level 直接計
多謝你比其它field既人了解依門學科
有個問題想問下, 之前同人討論0.99..等唔等於1,我話0.99..=1係因為real number既definition 係用limit 黎define, 但起rational number 既definition入面每個數都有唯一既質因解,咁9/10+9/100+9/1000+...依個數加幾多都好,分子分母都cancel唔到,除非用limit 去define但又為反rational number 既definition...
其實無違反, 0.999...係一個geometric sum, 可以用 DSE level 直接計
Elias
5.1. Measurable Functions (I)
主角 (新的積分) 即將出場, 係正式出場之前, 我地要交代少少背景資料先:
(a) Characteristic Functions and Step Functions
開始之前, 同大家介紹一個常用的 function: Characteristic function (Probability theory 會叫做 indicator function)
由於個output係real number, 我地可以將一堆 characteristic function combine做咁的樣
如果 X = set of real numbers, A_i 都係 intervals (即係 (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] 咁 ge 樣 ge野)
我地叫呢個 function 做 step function
一個step function的graph會類似係咁:
(Source: Wikipedia)
細心的讀書可以留意到:
---------------------------------------------------
(b) Riemann Integral Revisited
Given 一個 step function, assume d A_i mutually disjoint, 我地知道:
細心再望一下我最初點講Riemann Integral, 其實 Overestimate 同 Underestimate 都係一個step function的Riemann Integral
所以如果 f 係 Riemann Integrable on [a, b] 的話, 我地有:
inf 當係 minimum, sup 當係 maximum (當然嚴格黎講唔岩, 不過當住先, 兩者差唔多)
所以建構 Riemann Integral 的"原子"係 Step Functions. 所以我地而家要諗的係, 重新定義 Integral 果陣, 我地使用乜野"原子"
由於我地而家唔再係R, 無得講interval, 但係我地想好似Riemann Integral of step functions咁計, 即係:
係呢個情況下, 我地被逼要求 A_i 都係measurable sets.
如果 f 係咁樣, 而所有 A_i 都係 Measurable 的話, 我地叫佢做 Simple Function, 係定義 Integral 的時候, 我地需要對呢D "原子"有一定認識, 下次再講
==============================
Appendix (1) Mathematical Induction (MI)
呢度講 MI 個原理同點用
簡單黎講, 做 MI 我地的步驟係咁:
原理好似推骨牌咁, 我地將堆骨牌排次序, P(n) 岩的話代表第 n 塊骨牌冧左, 以上2同3 可以演繹成咁:
2. 第一塊骨牌冧左
3. 如果第k塊骨牌冧左的話, 咁第k+1塊骨牌會冧
由於第一塊冧左, 第3句就話比我地知第二塊就會冧, 因爲第二塊冧左, 第3句話話比我地聽第三塊都會冧, 如此類推, 所以全部都冧哂 (i.e. P(n) is true for all n)
我地做個簡單例子:
P(n) 係
n = 1: LHS = 1, RHS = (1/2)(1)(1+1) = 1 = LHS, so P(1) is true.
Suppose P(k) is true i.e. 1+2+3+...+k = (1/2)k(k+1), then
n = k + 1: LHS = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (1/2)k(k + 1) + (k + 1) = (1/2)(k + 1)(k + 2) = (1/2)(k + 1)[(k + 1) + 1] = RHS
By induction, 1+2+3+...+n = (1/2)n(n+1) for all positive integer n.
------------------------------------------------
Appendix (2) Decomposition into Finite Disjoint Union of Intervals.
我地首先留意到兩樣野:
(我發覺直接contruct非常1999, 不如用 induction (MI), 所以決定擺落 appendix...)
我地而家 induction on n (原本有幾多個intervals) (M2 的同學仔, 係時候見識下 MI 的厲害, 唔係淨係用黎證 D equality架
n = 1: 如果原本得一個 interval, 當然係廢話...
Suppose n = k is true for some k,
n = k + 1: 我地首先可以將頭 k 個 interval 做一次, 再用 induction hypothesis, 可以將頭 k 個改寫, 變成咁:
好啦, 果兩個 observation就係呢度用到, 由於 B_i 係mutually disjoint, 所以
A_{k+1} 上的係最多一個 B_i, 所以我地可以咁樣拆個A_{k+1}:
再用 (i) + (ii), 完成
By induction, 對所有 n 我地都可以咁拆
===============================
主角 (新的積分) 即將出場, 係正式出場之前, 我地要交代少少背景資料先:
(a) Characteristic Functions and Step Functions
開始之前, 同大家介紹一個常用的 function: Characteristic function (Probability theory 會叫做 indicator function)
Given 一個 set X, A⊆X. 我地定義
由於個output係real number, 我地可以將一堆 characteristic function combine做咁的樣
:^(
如果 X = set of real numbers, A_i 都係 intervals (即係 (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] 咁 ge 樣 ge野)
我地叫呢個 function 做 step function
一個step function的graph會類似係咁:
:^(
(Source: Wikipedia)
細心的讀書可以留意到:
我地可以假設step function堆 A_i 都係 mutually disjoint intervals. (See Appendix (2))
---------------------------------------------------
(b) Riemann Integral Revisited
Given 一個 step function, assume d A_i mutually disjoint, 我地知道:
(i) Step functions 係 Riemann Integrable on any [a, b].
落刀的位咁岩全部都係A_i的end points的話, Overestimate = Underestimate
(ii)
個細階L of an interval 係個interval endpoints 的 difference
細心再望一下我最初點講Riemann Integral, 其實 Overestimate 同 Underestimate 都係一個step function的Riemann Integral
所以如果 f 係 Riemann Integrable on [a, b] 的話, 我地有:
:^(
inf 當係 minimum, sup 當係 maximum (當然嚴格黎講唔岩, 不過當住先, 兩者差唔多)
所以建構 Riemann Integral 的"原子"係 Step Functions. 所以我地而家要諗的係, 重新定義 Integral 果陣, 我地使用乜野"原子"
由於我地而家唔再係R, 無得講interval, 但係我地想好似Riemann Integral of step functions咁計, 即係:
:^(
係呢個情況下, 我地被逼要求 A_i 都係measurable sets.
如果 f 係咁樣, 而所有 A_i 都係 Measurable 的話, 我地叫佢做 Simple Function, 係定義 Integral 的時候, 我地需要對呢D "原子"有一定認識, 下次再講
==============================
Appendix (1) Mathematical Induction (MI)
呢度講 MI 個原理同點用
簡單黎講, 做 MI 我地的步驟係咁:
1. 搵出要證明 關於 positive integer n 的 statement, 我地叫 P(n)
2. 先證明 P(1) 係岩
3. 如果 P(k) 係岩, 咁 P(k + 1) 就要岩
By induction, P(n) is true for all positive integer n.
原理好似推骨牌咁, 我地將堆骨牌排次序, P(n) 岩的話代表第 n 塊骨牌冧左, 以上2同3 可以演繹成咁:
2. 第一塊骨牌冧左
3. 如果第k塊骨牌冧左的話, 咁第k+1塊骨牌會冧
由於第一塊冧左, 第3句就話比我地知第二塊就會冧, 因爲第二塊冧左, 第3句話話比我地聽第三塊都會冧, 如此類推, 所以全部都冧哂 (i.e. P(n) is true for all n)
我地做個簡單例子:
P(n) 係
"1+2+3+...+n = (1/2)(n)(n+1)"
n = 1: LHS = 1, RHS = (1/2)(1)(1+1) = 1 = LHS, so P(1) is true.
Suppose P(k) is true i.e. 1+2+3+...+k = (1/2)k(k+1), then
n = k + 1: LHS = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (1/2)k(k + 1) + (k + 1) = (1/2)(k + 1)(k + 2) = (1/2)(k + 1)[(k + 1) + 1] = RHS
By induction, 1+2+3+...+n = (1/2)n(n+1) for all positive integer n.
------------------------------------------------
Appendix (2) Decomposition into Finite Disjoint Union of Intervals.
我地首先留意到兩樣野:
(i) A_i ∩ A_j 一係 empty set, 一係 interval (singleton 我地可以寫做 [a, a], 所以都算係 interval)
(ii) A_i \ A_j 會係 empty set 或者 union of at most two disjoint intervals.
(Hint: 望下兩個 interval 的位置有乜野可能性?, 其實你需要考慮的cases只有三個)
(我發覺直接contruct非常1999, 不如用 induction (MI), 所以決定擺落 appendix...)
我地而家 induction on n (原本有幾多個intervals) (M2 的同學仔, 係時候見識下 MI 的厲害, 唔係淨係用黎證 D equality架
:^(
n = 1: 如果原本得一個 interval, 當然係廢話...
Suppose n = k is true for some k,
n = k + 1: 我地首先可以將頭 k 個 interval 做一次, 再用 induction hypothesis, 可以將頭 k 個改寫, 變成咁:
好啦, 果兩個 observation就係呢度用到, 由於 B_i 係mutually disjoint, 所以
:^(
A_{k+1} 上的係最多一個 B_i, 所以我地可以咁樣拆個A_{k+1}:
:^(
再用 (i) + (ii), 完成
By induction, 對所有 n 我地都可以咁拆
===============================
高遠搖搖板
geometric sum to infinity 唔係一個 limit 嚟咩
多謝你比其它field既人了解依門學科
有個問題想問下, 之前同人討論0.99..等唔等於1,我話0.99..=1係因為real number既definition 係用limit 黎define, 但起rational number 既definition入面每個數都有唯一既質因解,咁9/10+9/100+9/1000+...依個數加幾多都好,分子分母都cancel唔到,除非用limit 去define但又為反rational number 既definition...
其實無違反, 0.999...係一個geometric sum, 可以用 DSE level 直接計
geometric sum to infinity 唔係一個 limit 嚟咩
狐狸叔叔
唔多明呢段
由於我地而家唔再係R, 無得講interval, 但係我地想好似Riemann Integral of step functions咁計, 即係:
係呢個情況下, 我地被逼要求 A_i 都係measurable sets.
如果 f 係咁樣, 而所有 A_i 都係 Measurable 的話, 我地叫佢做 Simple Function, 係定義 Integral 的時候, 我地需要對呢D "原子"有一定認識, 下次再講
唔多明呢段
高山一実
step function = 分幾個interval, 每個interval上個function都係constant
integrate step function = 每個interval長度乘function value, 再全部加埋佢
simple function = 分幾個measurable set, 每個measurable set上個function都係constant
integrate simple function = 每個measurable set measure乘function value, 再全部加埋佢
由於我地而家唔再係R, 無得講interval, 但係我地想好似Riemann Integral of step functions咁計, 即係:
係呢個情況下, 我地被逼要求 A_i 都係measurable sets.
如果 f 係咁樣, 而所有 A_i 都係 Measurable 的話, 我地叫佢做 Simple Function, 係定義 Integral 的時候, 我地需要對呢D "原子"有一定認識, 下次再講
唔多明呢段
step function = 分幾個interval, 每個interval上個function都係constant
integrate step function = 每個interval長度乘function value, 再全部加埋佢
simple function = 分幾個measurable set, 每個measurable set上個function都係constant
integrate simple function = 每個measurable set measure乘function value, 再全部加埋佢
物理系（揸兜）
咁我剩係要求第二條咪得
反正符合第二條 第一條自動符合埋
\cup_{i=1}^\inf E_i=\cup_{i=1}^\inf F_i
\cup_{i=1}^n E_i=\cup_{i=1}^n F_i for any n
第二條唔係第一條既定義黎咩？
唔係, 第二 implies 第一, 但佢地的關係唔係定義
咁我剩係要求第二條咪得
反正符合第二條 第一條自動符合埋
如果一切都有可能
Calculus+Prob and stat都有讀過
本來想讀Pure Maths 但係間u得Applied Maths
應該向住applied maths方向讀
留名學野
但係我想問如果我想睇Measure Theory嘅textbook應該睇邊本
利申:Engineering fm
有咩數學background同想咩方向? E.g. probability, pure math, applied math, statistics, etc.
Calculus+Prob and stat都有讀過
本來想讀Pure Maths 但係間u得Applied Maths
:^(
應該向住applied maths方向讀
Elias
如果想學pure math ge fourier, 首先要識measure theory
細電仔留名
想巴打講下 Fourier analysis
對於ee, FT都係當frequency domain 咁睇
想知數學上既意義
如果想學pure math ge fourier, 首先要識measure theory
:^(
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Elias
我只係 emphasize 兩個fact姐，d人未必留意到
\cup_{i=1}^\inf E_i=\cup_{i=1}^\inf F_i
\cup_{i=1}^n E_i=\cup_{i=1}^n F_i for any n
第二條唔係第一條既定義黎咩？
唔係, 第二 implies 第一, 但佢地的關係唔係定義
咁我剩係要求第二條咪得
反正符合第二條 第一條自動符合埋
我只係 emphasize 兩個fact姐，d人未必留意到
:^(
Elias
其實idea好簡單, 就係 Riemann integral 用 step function approximate個area
Lebesgue Integral 用 Simple Functions approximate 個 area
開始複雜
其實idea好簡單, 就係 Riemann integral 用 step function approximate個area
Lebesgue Integral 用 Simple Functions approximate 個 area
Elias
如果要好concise咁講我諗要特登寫返個post 講
我叫 Edelschwarz講下, 同佢果個post關係大D
多謝你比其它field既人了解依門學科
有個問題想問下, 之前同人討論0.99..等唔等於1,我話0.99..=1係因為real number既definition 係用limit 黎define, 但起rational number 既definition入面每個數都有唯一既質因解,咁9/10+9/100+9/1000+...依個數加幾多都好,分子分母都cancel唔到,除非用limit 去define但又為反rational number 既definition...
其實無違反, 0.999...係一個geometric sum, 可以用 DSE level 直接計
geometric sum to infinity 唔係一個 limit 嚟咩
如果要好concise咁講我諗要特登寫返個post 講
:^(
我叫 Edelschwarz講下, 同佢果個post關係大D
:^(
(d) Continuity of Measure
(未學過limit? 可以望下呢個post
https://lihkg.com/thread/486199/page/1
#25)
呢個特性亦都解釋到點解我地希望 countable union of measurable sets ia measurable.
(i) 如果 E_1 ⊆ E_2 ⊆ E_3 ⊆ ... ⊆ E_n ⊆ ..., 我地有:
證明我地用番 (c) 條橋, recall返
所以我地有
Exercise: 寫出以上的equalities的理由
最後的equality係因爲 E_n 包哂 E_{n-1}, ..., E_2, E_1.
(ii) 相反, 如果 E_1 ⊇ E_2 ⊇ E_3 ⊇ ... ⊇ E_n ⊇ ... , 再加上
μ(E_1) < +∞
(即係finite), 我地有
我地希望整到好似上面咁, 但點整呢?
我地可以咁諗番real number個case: 如果 x < y < z, 我地點樣整到倒轉? 就係 0 < z - y < z - x 啦
所以抄番呢條橋, 而且呢度 E_1 係最大的 set
所以我地可以就咁設
咁我地就可以好開心咁用番第一部份
第一個等號係第一部份, 第二個等號係 F_i 個條式, 第三個等號係 De Morgan's Laws (See Appendix), 最後個等號係 (b) 最後果條式
另一方面,
兩邊相等架喎, 所以我地有
執番靚佢之後就得到
Q: 點解我地要假設 μ(E_1) 係finite?
-------------------------------------------------------------
Application: Borel-Cantelli Lemma
點證明好呢
望到同 Continuity of Measure 好似喎, 不如首先拆左個 intersection 先啦, 設
1. F_{n + 1} ⊆ F_n for every n? Yes, 因爲個union越黎越少野
2. μ(F_1) 係咪 finite? Yes, 因爲
好, 用 (d) 的第二部份
所以我地有
最後等號個理由係咩? 咁就要望返我開頭比果條link啦
如果轉成probability + 人類語言黎講 (See Appendix (2)):
如果
=============================================================
Appendix (1) De Morgan's Laws
係logic上, De Morgan's Laws的表示係
最簡單的證明係畫個 truth table
而 intersection, union 同 complement 可以睇做:
(⇔ 解 if and only if, x ∈ A 解 x 係 A的一點, 我唔想罰抄)
然後用番logic果個版本就可以啦
-------------------------------------------------------------
Appendix (2) 點解個奇怪 set 咁 interpret
Recall 番我地個 Claim (數學證明常用的 term, 通常係證明入面寫出黎話比人知我將要證明D咩野)
以下的proof比較深奧, 唔明唔緊要 (其實只係純粹玩邏輯, 唔太關數學事)