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被誘捕的怜
Lebesgue measure有picture過analysis好多
我覺得依個post應該會好睇過出面嗰個analysis post
算啦，呢個題目好撚難，冇咩可能普及到
你肯定?
Lebesgue measure有picture過analysis好多
我覺得依個post應該會好睇過出面嗰個analysis post
:^(
被誘捕的怜
（呀我指二字頭三字教measure之前嗰堆
算啦，呢個題目好撚難，冇咩可能普及到
你肯定?
Lebesgue measure有picture過analysis好多
我覺得依個post應該會好睇過出面嗰個analysis post
（呀我指二字頭三字教measure之前嗰堆
:^(
Elias
你講d野咁矛盾ge
算啦，呢個題目好撚難，冇咩可能普及到
你肯定?
Lebesgue measure有picture過analysis好多
我覺得依個post應該會好睇過出面嗰個analysis post
（呀我指二字頭三字教measure之前嗰堆
你講d野咁矛盾ge
:^(
Elias
無野睇錯
但認真d exercise好甘
算啦，呢個題目好撚難，冇咩可能普及到
你肯定?
Lebesgue measure有picture過analysis好多
我覺得依個post應該會好睇過出面嗰個analysis post
（呀我指二字頭三字教measure之前嗰堆
你講d野咁矛盾ge
無野睇錯
但認真d exercise好甘
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Elias
2. Riemann Integral 的問題
[OT]
呢個post開始, 唔想影響內容, 有D小枝節的地方的證明會放係appendix, 亦都會盡量做得Mathematical d, 如果你對果D證明無咩興趣就take these facts for granted.
[/OT]
呢篇應該會深少少, 主要係first version 的延長版, 如果大家真係唔明的, 可以問, 我會盡力解釋比大家聽
一般黎講介紹 Lebesgue Integral (勒貝格積分) 之前都會數臭 Riemann Integral 有乜唔好有乜唔好, 最常見的問題有三:
(a) 積分的世界問題:
Riemann Integral 只對 [a, b] 咁ge樣的地方進行積分. 如果我想係D天馬行空的世界進行積分, Riemann Integral 就搞唔掂
諗番我地點搵個闊度先: 係斬完個interval之後, 大果點減細果點 (recall 返中學 coordinates geometry), 但係係痴線世界入面呢, 我地未必有距離呢個概念 (所以闊度係無意思的形容詞)
而點解要係天馬行空痴撚線世界度做積分?
所以要推廣的話, Riemann條橋就行唔通
-----------------------------------
(b) Riemann Integral 處理唔到好多常用的 functions:
有好多常用的function係唔Riemann Integrable的, 其中一個常用例子係characteristic function of rational numbers:
我地要證明呢個function 唔係Riemann Integrable on [0, 1]. 首先要一個fact (有興趣睇appendix解說):
任何兩個唔同的real numbers x < y, 係中間可以搵到一個raional number, 亦都可以係中間搵到一個irrational number.
所以無論我地點斬都好, 係任何end points唔同的intervals上面:
最大的值都會係 1 (搵個rational)
最細的值都會係0 (搵個irrational)
計下就會發覺
Overestimate 永遠都係 1 (果D長方形高度都係1, 痴埋咪變左邊長係1的大正方形~)
Underestimate 永遠都係 0 (果D長方形個高永遠都係 0 呀~)
Overestimate - Underestimate 永遠都係 1
而家我限制 error 唔比大過 1/2...GGed
-----------------------------------
(c) Limit 交換
(如果無學過 Elementary Analysis / Uniform Convergence (CU 2060, UST 2043/3033) 可以跳過呢個部份)
係Elementary Analysis入面, 將limit sign同integral sign交換的條件係 Uniform convergence
但係呢個條件強到仆街, 同埋 check 呢個條件真係 check到 2046
但係呢係Analysis (e.g. PDE) 入面又成日面對呢D野, 所以我地想的係, 如果得pointwise convergence的話 (呢樣易證好多, 好多時就咁take
limit) 我地有無一個相對容易D check的條件呢?
-----------------------------------
Measure theory 可以解答到呢D問題
不過首先我地要知道 measure係乜先, 下次再講
===============================================
===============================================
===============================================
Appendix: 搵rational / irrational numbers
(sqrt{2} 係指 square root 2)
首先我地會用到兩個facts:
1. 如果 x > 0, 我地可以搵到一個positive integer n 令到 nx > 1
2. 任何 real number x, 我地搵到一個integer m 令到 m ≤ x < m + 1
第二個就好明顯啦, 寫做小數就ok
至於第一個, 簡單黎講係積少成多
rational number:
x < y 的話即係話 y - x > 0, by fact 1. 我地可以搵到positive integer n 令 n(y - x) > 1. 重組一下我地有:
好啦, nx 係一個 real number 黎, by fact 2, 我地可以搵到個integer m令到
重組一下, 我地有
(第一個inequality係黎自 (**) 的右邊, 第二個inequality黎自 (**)的左邊, m ≤ nx 兩邊加1就可以, 第三個inequality係黎自(*))
成條式除左 n, 我地得到
大功告成!
irrational number:
知道左rational number ok之後, 搵irrational就好易啦, 首先將x, y除以sqrt{2}, 就會有 x/sqrt{2} < y/sqrt{2}, 然後搵個rational number r落去, 再將條式乘返 sqrt{2},
最後一步係證點解 \sqrt{2}r 係 irrational. (By contradiction) 如果佢係 rational 的話, 即假設 sqrt{2}r = q, q都係rational, square兩邊, 得到 2r^2 = q^2, 即係話 2 = (q/r)^2, 即係話 sqrt{2} = q/r or -q/r, 即係 sqrt{2} 係 rational, contradiction.
咪住先, 如果 r = 0 唔除得過去架喎
是咁的, 我地呢度可以揀 r 唔等於 0 的:
如果最初揀的r = 0, 我地有 0 < y/sqrt{2}, 咁我地搵個新 r 係 0 同 y/sqrt{2}之間囉
[OT]
呢個post開始, 唔想影響內容, 有D小枝節的地方的證明會放係appendix, 亦都會盡量做得Mathematical d, 如果你對果D證明無咩興趣就take these facts for granted.
[/OT]
呢篇應該會深少少, 主要係first version 的延長版, 如果大家真係唔明的, 可以問, 我會盡力解釋比大家聽
一般黎講介紹 Lebesgue Integral (勒貝格積分) 之前都會數臭 Riemann Integral 有乜唔好有乜唔好, 最常見的問題有三:
(a) 積分的世界問題:
Riemann Integral 只對 [a, b] 咁ge樣的地方進行積分. 如果我想係D天馬行空的世界進行積分, Riemann Integral 就搞唔掂
:^(
諗番我地點搵個闊度先: 係斬完個interval之後, 大果點減細果點 (recall 返中學 coordinates geometry), 但係係痴線世界入面呢, 我地未必有距離呢個概念 (所以闊度係無意思的形容詞)
:^(
而點解要係天馬行空痴撚線世界度做積分?
:^(
所以要推廣的話, Riemann條橋就行唔通
:^(
-----------------------------------
(b) Riemann Integral 處理唔到好多常用的 functions:
有好多常用的function係唔Riemann Integrable的, 其中一個常用例子係characteristic function of rational numbers:
:^(
我地要證明呢個function 唔係Riemann Integrable on [0, 1]. 首先要一個fact (有興趣睇appendix解說):
任何兩個唔同的real numbers x < y, 係中間可以搵到一個raional number, 亦都可以係中間搵到一個irrational number.
所以無論我地點斬都好, 係任何end points唔同的intervals上面:
最大的值都會係 1 (搵個rational)
最細的值都會係0 (搵個irrational)
計下就會發覺
Overestimate 永遠都係 1 (果D長方形高度都係1, 痴埋咪變左邊長係1的大正方形~)
Underestimate 永遠都係 0 (果D長方形個高永遠都係 0 呀~)
Overestimate - Underestimate 永遠都係 1
而家我限制 error 唔比大過 1/2...GGed
:^(
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(c) Limit 交換
(如果無學過 Elementary Analysis / Uniform Convergence (CU 2060, UST 2043/3033) 可以跳過呢個部份)
:^(
係Elementary Analysis入面, 將limit sign同integral sign交換的條件係 Uniform convergence
但係呢個條件強到仆街, 同埋 check 呢個條件真係 check到 2046
但係呢係Analysis (e.g. PDE) 入面又成日面對呢D野, 所以我地想的係, 如果得pointwise convergence的話 (呢樣易證好多, 好多時就咁take
limit) 我地有無一個相對容易D check的條件呢?
:^(
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Measure theory 可以解答到呢D問題
:^(
不過首先我地要知道 measure係乜先, 下次再講
===============================================
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Appendix: 搵rational / irrational numbers
(sqrt{2} 係指 square root 2)
首先我地會用到兩個facts:
1. 如果 x > 0, 我地可以搵到一個positive integer n 令到 nx > 1
2. 任何 real number x, 我地搵到一個integer m 令到 m ≤ x < m + 1
第二個就好明顯啦, 寫做小數就ok
至於第一個, 簡單黎講係積少成多
:^(
rational number:
x < y 的話即係話 y - x > 0, by fact 1. 我地可以搵到positive integer n 令 n(y - x) > 1. 重組一下我地有:
nx + 1 < ny------------(*)
好啦, nx 係一個 real number 黎, by fact 2, 我地可以搵到個integer m令到
m ≤ nx < m + 1------------(**)
重組一下, 我地有
nx < m + 1 ≤ nx + 1 < ny
(第一個inequality係黎自 (**) 的右邊, 第二個inequality黎自 (**)的左邊, m ≤ nx 兩邊加1就可以, 第三個inequality係黎自(*))
成條式除左 n, 我地得到
x < (m + 1)/n < y
大功告成!
irrational number:
知道左rational number ok之後, 搵irrational就好易啦, 首先將x, y除以sqrt{2}, 就會有 x/sqrt{2} < y/sqrt{2}, 然後搵個rational number r落去, 再將條式乘返 sqrt{2},
x < sqrt{2} r < y
最後一步係證點解 \sqrt{2}r 係 irrational. (By contradiction) 如果佢係 rational 的話, 即假設 sqrt{2}r = q, q都係rational, square兩邊, 得到 2r^2 = q^2, 即係話 2 = (q/r)^2, 即係話 sqrt{2} = q/r or -q/r, 即係 sqrt{2} 係 rational, contradiction.
咪住先, 如果 r = 0 唔除得過去架喎
:^(
是咁的, 我地呢度可以揀 r 唔等於 0 的:
如果最初揀的r = 0, 我地有 0 < y/sqrt{2}, 咁我地搵個新 r 係 0 同 y/sqrt{2}之間囉
:^(
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Elias
3. 咩係Measure?
好啦, 我地而家入正題, 我會開始越講越慢, 因爲D野越黎越難, 所以我會盡量講多D concrete 的例子等大家明白搞緊乜野
Intuitively speaking, Measure係一個計volume / area / length 的function. 例如你丟一個實心正方形, 佢會出番呢個正方形的面積
------------------------------------------------------------------
(a) Measure 的 Output (Codomain)
Volume 當然唔可以係負數啦, 而且我地認知的volume都係non-negative numbers, 亦都可以無限大(諗下一條無限長的線有幾長?), 所以個codomain係non-negative real numbers同infinity
(數學上我地會咁寫 [0, +∞])
------------------------------------------------------------------
(b) Measure 的特性
我地希望呢個function μ, 有番我地正常諗的volume的特性:
1. 無野 (數學上我地叫 empty set, 我地用 ∅ 呢個符號表示) 的volume 當然要係 0, 數學上我地寫做
2. 如果我地有一堆分開的圖形 ("分開"數學上我地叫 mutually disjoint, 即係任何兩個唔同圖形之間唔會有任何common point), 叫 E_1, E_2, ..., E_n, 我地計佢地的total volume 就咁加起佢就ok, 係數學上我地會咁寫:
(E_1 意思係 E subscript 1)
E_1 ∪ E_2 ∪ ... ∪ E_n 的意係, 呢個大圖形係由 E_1, E_2, ..., E_n 放埋一齊, 我地叫呢個放圖形做 union of E_1, E_2, ..., E_n
例如 E_1 係咁的話,
E_2 係咁的話
咁 E_1 ∪ E_2 就係
而mutually disjoint 係類似咁的情況:
而呢個情況我地唔叫Mutually disjoint (個三角形同圓形有重疊的地方)
不過呢, 呢個好似唔係咁足夠喎, 我地都想貪心D, 例如
都應該可以計到長度喎, 所以2. 果條式要變做咁:
2'. 如果 E_1, E_2, ..., E_n, ... 係一個 sequence of mutually disjoint 圖形, 我地都要有
呢種性質我地叫 countable additivity
我地唔想罰抄同搞到D算式長到去羅馬
上面2'. 就可以變成
係咪短好多呢
------------------------------------------------------------------
(c) Measure 的 Input (Domain)
呢樣最難搞, 講得function, 我地都要聲明 input 係D乜野, 最理由係呀豬呀狗必撚野圖形都可以做 input 啦, 但係可惜, life is hard, 開講有話: "邊有八斤八両咁理想~~~", 我地會係不久的將來會證明 "係 real numbers 上面, 如果用我地平常的 length 去計的話, 我地有一個圖形係無法計算長度的" (呢度的無法計算係指即使我地格硬計個value比佢, 呢個圖形都唔會符合我地平常諗的 length 的特性)
所以數學家其中一樣野就係退而求其次, 諗下呢D可以計到volume的圖形應該要(保留到)咩特性 (呢個行爲係數學家做推廣果陣都要做, 就係取捨一D無咁重要的性質唔要, 保留一D我地最想要的性質)
所以我地保留呢幾個最重要的性質:
1. 無野要計到volume
2. 成個世界都要要計到 volume (就算係 infinity 都好)
3. 如果有一個圖形計到volume, 咁個世界拎走呢個圖形都要計到 volume (如果個圖形叫 E, 個世界叫 X, 拎走左 E 之後我地會寫做 X\E )
4. 如果我地有一個sequence of "可以計到volume的圖形", 咁佢地的 union 都應該要計到volume
呢一D "可以計到volume的圖形" 我地叫做 measurable sets (故名思義, 即係度到volume囉).
我地用A代表一堆圖形, 如果A滿足 1 - 4 的話我地叫 A 做 σ-algebra
(Probability 會叫 σ-field, 都係同一樣野)
------------------------------------------------------------------
總結黎講, Measure 就係一個 function μ: A -> [0, +∞], 滿足
1. μ(∅) = 0
2. 如果 E_1, E_2, ..., E_n, ... 係一個sequence of disjoint 的 measurable sets, 則有 μ(U E_i) = \sum μ(E_i) (Countable additivity)
由於篇幅所限, 我將例子分開另一個post講
好啦, 我地而家入正題, 我會開始越講越慢, 因爲D野越黎越難, 所以我會盡量講多D concrete 的例子等大家明白搞緊乜野
Intuitively speaking, Measure係一個計volume / area / length 的function. 例如你丟一個實心正方形, 佢會出番呢個正方形的面積
------------------------------------------------------------------
(a) Measure 的 Output (Codomain)
Volume 當然唔可以係負數啦, 而且我地認知的volume都係non-negative numbers, 亦都可以無限大(諗下一條無限長的線有幾長?), 所以個codomain係non-negative real numbers同infinity
(數學上我地會咁寫 [0, +∞])
------------------------------------------------------------------
(b) Measure 的特性
我地希望呢個function μ, 有番我地正常諗的volume的特性:
1. 無野 (數學上我地叫 empty set, 我地用 ∅ 呢個符號表示) 的volume 當然要係 0, 數學上我地寫做
μ(∅) = 0
2. 如果我地有一堆分開的圖形 ("分開"數學上我地叫 mutually disjoint, 即係任何兩個唔同圖形之間唔會有任何common point), 叫 E_1, E_2, ..., E_n, 我地計佢地的total volume 就咁加起佢就ok, 係數學上我地會咁寫:
μ(E_1 ∪ E_2 ∪ ... ∪ E_n) = μ(E_1) + μ(E_2) + ... + μ(E_n)
(E_1 意思係 E subscript 1)
E_1 ∪ E_2 ∪ ... ∪ E_n 的意係, 呢個大圖形係由 E_1, E_2, ..., E_n 放埋一齊, 我地叫呢個放圖形做 union of E_1, E_2, ..., E_n
例如 E_1 係咁的話,
:^(
E_2 係咁的話
:^(
咁 E_1 ∪ E_2 就係
:^(
而mutually disjoint 係類似咁的情況:
:^(
而呢個情況我地唔叫Mutually disjoint (個三角形同圓形有重疊的地方)
:^(
不過呢, 呢個好似唔係咁足夠喎, 我地都想貪心D, 例如
[0, 1] ∪ [1, 1 + 1/2] ∪ [2, 2 + 1/2^2] ∪ ...
都應該可以計到長度喎, 所以2. 果條式要變做咁:
2'. 如果 E_1, E_2, ..., E_n, ... 係一個 sequence of mutually disjoint 圖形, 我地都要有
μ(E_1 ∪ E_2 ∪ ... ∪ E_n ∪ ... ) = μ(E_1) +μ(E_2) + ... + μ(E_n) + ...
呢種性質我地叫 countable additivity
我地唔想罰抄同搞到D算式長到去羅馬
:^(
:^(
:^(
:^(
:^(
上面2'. 就可以變成
:^(
係咪短好多呢
:^(
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(c) Measure 的 Input (Domain)
呢樣最難搞, 講得function, 我地都要聲明 input 係D乜野, 最理由係呀豬呀狗必撚野圖形都可以做 input 啦, 但係可惜, life is hard, 開講有話: "邊有八斤八両咁理想~~~", 我地會係不久的將來會證明 "係 real numbers 上面, 如果用我地平常的 length 去計的話, 我地有一個圖形係無法計算長度的" (呢度的無法計算係指即使我地格硬計個value比佢, 呢個圖形都唔會符合我地平常諗的 length 的特性)
:^(
:^(
:^(
所以數學家其中一樣野就係退而求其次, 諗下呢D可以計到volume的圖形應該要(保留到)咩特性 (呢個行爲係數學家做推廣果陣都要做, 就係取捨一D無咁重要的性質唔要, 保留一D我地最想要的性質)
所以我地保留呢幾個最重要的性質:
1. 無野要計到volume
2. 成個世界都要要計到 volume (就算係 infinity 都好)
3. 如果有一個圖形計到volume, 咁個世界拎走呢個圖形都要計到 volume (如果個圖形叫 E, 個世界叫 X, 拎走左 E 之後我地會寫做 X\E )
4. 如果我地有一個sequence of "可以計到volume的圖形", 咁佢地的 union 都應該要計到volume
呢一D "可以計到volume的圖形" 我地叫做 measurable sets (故名思義, 即係度到volume囉).
我地用A代表一堆圖形, 如果A滿足 1 - 4 的話我地叫 A 做 σ-algebra
(Probability 會叫 σ-field, 都係同一樣野)
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總結黎講, Measure 就係一個 function μ: A -> [0, +∞], 滿足
1. μ(∅) = 0
2. 如果 E_1, E_2, ..., E_n, ... 係一個sequence of disjoint 的 measurable sets, 則有 μ(U E_i) = \sum μ(E_i) (Countable additivity)
由於篇幅所限, 我將例子分開另一個post講
Elias
3a. Measure 的例子:
我地而家講下measure有咩例子, 有D例子好似好on9咁, 但係我希望大家都明measure係乜
------------------------------------------------
(a) Zero Measure
我唔理呀, 乜都係 0 volume 咪算
即係: 如果有個世界叫 X, 我覺得任何圖形都無 volume
而家個A就係所有圖形 (呢個特例我地叫 Power set of X, 寫做 P(X))
而個 μ 就係, 比我一個圖形 E, 我地都定義 μ(E) = 0
我地要答呢堆問題:
1. P(X) 係咪 σ-algebra? Yes!
(i) ∅ 係圖形的一種
(ii) 成個世界 X 都係圖形的一種
(iii) 如果 E 係一個圖形, X\E (X拎走E) 當然係圖形啦
(iv) 圖形拼埋咪又係圖形一個~
2. μ係咪measure? Yes!
(i) μ(∅) = 0? Yes! (乜野都係 0)
(ii) μ係咪 countable additive? Yes! (任你點加幾多個 0 都係 0 架啦, 完全係 0)
搞掂
------------------------------------------------
(b) Dirac Measure
同 (a) 同一個 setting, 然後係 X 上面揀定一定 x, 我地定義 μ做:
如果 x 係 E 的一點, μ(E) = 1
如果唔係, 就 μ(E) = 0
P(X) 我地check左係 σ-algebra. 我地check μ係咪measure:
(i) μ(∅) = 0? Yes! (既然無點, x當然唔係 ∅ 入面)
(ii) μ係咪 countable additive? Yes!
呢個複雜少少, given 一堆mutually disjoint的圖形 E_1, E_2, ..., E_n, ...,
(1) x 唔係呢堆圖形入面, 咁放哂係度都唔會有 x 呢點架啦, 自然有
(2) 如果 x 係其一一個E_i入面, 咁 x 就唔會係其他圖形入面, 所以呢
------------------------------------------------
(c) 數野
假設我有三張牌, 我叫 R, G, B, 即係 X = {R, G, B} (個大括號係指有乜野係入面)
呢度的 σ-algebra 就係 "任何一疊牌", 即係 ∅, {R}, {G}, {B}, {R, G}, {R, B}, {G, B}, {R, G, B}
個 A 就係 {∅, {R}, {G}, {B}, {R, G}, {R, B}, {G, B}, {R, G, B}} (= P(X), 點解呢
如果given一疊牌 E, 我地定義
μ(E) = E 有幾多張牌 (數學上我地寫做 |E|, 叫 Cardinailty of E).
例如 μ({R, G}) = 2 (有兩張牌: R, G)
Check μ係咪measure:
(1) μ(∅) = 0 (因爲都無牌)
(2) 如果有堆一疊疊ge牌 E_1, E_2, ..., E_n, ... , 而且 mutually disjoint (即係任何兩疊牌都無重複的牌) 我地直接數下數下就知總牌數可以就咁加埋啦 (可以想像兩疊無重複的牌疊埋一齊, 咪就咁加埋D牌數咪算)
------------------------------------------------
(d) Counting Measure
由例子(c)我地可以望一個比較抽象的例子:
X 係一個任意世界, 如果 E 係 X 入面的一個圖形, 我地定義 E 的 "volume" 有幾多點, 即係
μ(E) = |E| (可以係無限架~)
咁 A 呢? 同 (a) 一樣, 就係 P(X)
而μ係measure, countable additivity果度就好似上面數牌咁慢慢數, 就無問題啦
------------------------------------------------
(e) Probability Measure
繼續用番例子(c), 但係今次我地將佢改做
μ(E) = P(E) (Probability getting a card that is in E)
例如 μ({R, G}) = P({R, G}) = Probability getting a card that is R or G
點解μ係measure? 留番比你地做功課啦~~~
而我地叫成個世界 volume 係 1 (即係μ(X) = 1) ge的 measure 做 probability measure
------------------------------------------------
下期會講下 measure 有咩 properties
我地而家講下measure有咩例子, 有D例子好似好on9咁, 但係我希望大家都明measure係乜
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(a) Zero Measure
:^(
我唔理呀, 乜都係 0 volume 咪算
即係: 如果有個世界叫 X, 我覺得任何圖形都無 volume
而家個A就係所有圖形 (呢個特例我地叫 Power set of X, 寫做 P(X))
而個 μ 就係, 比我一個圖形 E, 我地都定義 μ(E) = 0
我地要答呢堆問題:
1. P(X) 係咪 σ-algebra? Yes!
(i) ∅ 係圖形的一種
(ii) 成個世界 X 都係圖形的一種
(iii) 如果 E 係一個圖形, X\E (X拎走E) 當然係圖形啦
(iv) 圖形拼埋咪又係圖形一個~
2. μ係咪measure? Yes!
(i) μ(∅) = 0? Yes! (乜野都係 0)
(ii) μ係咪 countable additive? Yes! (任你點加幾多個 0 都係 0 架啦, 完全係 0)
搞掂
:^(
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(b) Dirac Measure
同 (a) 同一個 setting, 然後係 X 上面揀定一定 x, 我地定義 μ做:
如果 x 係 E 的一點, μ(E) = 1
如果唔係, 就 μ(E) = 0
P(X) 我地check左係 σ-algebra. 我地check μ係咪measure:
(i) μ(∅) = 0? Yes! (既然無點, x當然唔係 ∅ 入面)
(ii) μ係咪 countable additive? Yes!
呢個複雜少少, given 一堆mutually disjoint的圖形 E_1, E_2, ..., E_n, ...,
(1) x 唔係呢堆圖形入面, 咁放哂係度都唔會有 x 呢點架啦, 自然有
:^(
(2) 如果 x 係其一一個E_i入面, 咁 x 就唔會係其他圖形入面, 所以呢
:^(
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(c) 數野
假設我有三張牌, 我叫 R, G, B, 即係 X = {R, G, B} (個大括號係指有乜野係入面)
呢度的 σ-algebra 就係 "任何一疊牌", 即係 ∅, {R}, {G}, {B}, {R, G}, {R, B}, {G, B}, {R, G, B}
個 A 就係 {∅, {R}, {G}, {B}, {R, G}, {R, B}, {G, B}, {R, G, B}} (= P(X), 點解呢
:^(
如果given一疊牌 E, 我地定義
μ(E) = E 有幾多張牌 (數學上我地寫做 |E|, 叫 Cardinailty of E).
例如 μ({R, G}) = 2 (有兩張牌: R, G)
Check μ係咪measure:
(1) μ(∅) = 0 (因爲都無牌)
(2) 如果有堆一疊疊ge牌 E_1, E_2, ..., E_n, ... , 而且 mutually disjoint (即係任何兩疊牌都無重複的牌) 我地直接數下數下就知總牌數可以就咁加埋啦 (可以想像兩疊無重複的牌疊埋一齊, 咪就咁加埋D牌數咪算)
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(d) Counting Measure
由例子(c)我地可以望一個比較抽象的例子:
X 係一個任意世界, 如果 E 係 X 入面的一個圖形, 我地定義 E 的 "volume" 有幾多點, 即係
μ(E) = |E| (可以係無限架~)
咁 A 呢? 同 (a) 一樣, 就係 P(X)
而μ係measure, countable additivity果度就好似上面數牌咁慢慢數, 就無問題啦
:^(
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(e) Probability Measure
繼續用番例子(c), 但係今次我地將佢改做
μ(E) = P(E) (Probability getting a card that is in E)
例如 μ({R, G}) = P({R, G}) = Probability getting a card that is R or G
點解μ係measure? 留番比你地做功課啦~~~
而我地叫成個世界 volume 係 1 (即係μ(X) = 1) ge的 measure 做 probability measure
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下期會講下 measure 有咩 properties
:^(
個腦同對手唔協調