我是誰?
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Edelschwarz
Differentiation一個好重要嘅用途係去估算一條function嘅值
我地之前提過，derivative係指出如果x增加少少，咁f(x)會增加幾多
所以我地就可以喺幅圖畫一條斜率為f'(a)嘅線
去估計f(x)喺a附近嘅值
例如我地可以估算f(x)=sin x喺x=0附近啲情況
於是我地就可以就g(x)=x嚟做估算
咁我地見到，當x同0比較接近時，我地嘅估算相當準確
但係當x比較大嗰陣，誤差就會比較大
咁個問題喺邊呢?
就係喺x比較大嘅時候，f'(x)已經同f'(0)唔同
咁既然個斜率唔啱
我地又點會估得準呢
咁我地研究吓f'(x)同f'(0)究竟差幾遠:
好似睇唔到啲咩...
咁我地就見到f'(0)=1係f'(x)喺0附近嘅一個好好嘅估算
其實係因為f''(0)=0
同頭先一樣，當x比較大嘅時候，我地對f'(x)嘅估算嘅誤差開始變大
個原因就係x比較大嘅時候，f''(x)已經同f''(0)唔同
我地只係由研究f(x)變成研究f'(x)
咁既然個斜率唔啱
我地又點會估得準呢
於是，我地又研究吓f''(x)同f''(0)究竟差幾遠:
咁我地就見到f''(0)嘅值唔係一個對f''(x)好準確嘅估算
所以我地要諗辦法修正佢
我地見到f''(x)喺x=0嘅斜率(即係f'''(0))係-1
於是我地就諗一條簡單嘅function h，使到佢地有同樣嘅derivative,
即係h'''(0) = -1
咁我地咪可以修正到f(x)同g(x)之間嘅誤差囉
一個好好嘅選擇就係h(x) = -x³/6 ，因為容易計
咁我地睇吓新嘅估算係點:
效果唔錯
依家我地嘅估算喺|x|<1嘅範圍內都幾準
雖然之後都係慘不忍睹:
但係唔緊要
呢個我地可以繼續用同一個方法修正:
咁我地就得到一條好似樣嘅function喇
咁我地依家就總結吓我地做咗啲咩:
我地由 f(a)開始，我地有一個linear estimation
f(a) + f'(a)(x-a)
然後我地要加一個修正term h(x)，而呢個term要滿足h''(x) = f''(a), 同埋h(0)=h'(0)=0 (因為我地唔想搞亂前面嘅估算)
咁為咗方便起見，我地會揀一個polynomial
根據中學雞嘅知識，呢個polynomial會係 f''(a)(x-a)²/2
咁新嘅估算就係
f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2
如此類推
咁我地就得到一條series:
咁呢條就叫做f(x)嘅Taylor series喇
既然講得估算，就梗係要講誤差啦
咁我地就有下面嘅theroem幫手:
咁長唔想打，直接抄人算數
咁佢要講嘅就係Pn(x)同f(x)嘅誤差同佢就第n+1個derivative相關
所以當我地知道佢喺x同c之間呢個interval嘅bound
咁我地就可以計到Rn最大係幾多，即係誤差最大係幾多
Proof: 我地設M係一個數，使到
呢度x唔係variable, 我地想搵嘅係f喺x嘅值，所以M係一個constant
然後我地再寫
今次個t係variable喇
同我地就有g(x)=g(c)=0
然後用Rolle's Theorem (或者MVT, 是但啦) 就可以KO
搞掂
我地依家小試牛刀，計吓喺x=1時，sin x 同我地頭先嗰個degree 9嘅polynomial嘅estimation差幾遠先:
幾準吖，唔係咩
所以Taylor series係一個估算differentiable function嘅好辦法
除咗一樣野
就係佢唔係一定work
(雖然N賤嘅同學仔可以放心用，因為你地會見到嘅function都唔會出事)
我地睇吓呢個function
用L'Hôpital's Rule我地計到喺0呢一點，我地d幾多次都係得到0
即係話我地個Taylor series永遠都係0
所以我地唔能夠透過Taylor series對f(x)嘅值作出精確估算
咁個根本原因就係Rn其實唔一定要converge to 0
只要f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)生得夠快，咁佢就會爆煲
下集: Riemann Integral
想收睇高級啲嘅Lebesgue Integral，請移玉步到呢個post:
[數學普及] Measure Theory (測度論) 簡介 ver. 2
https://lihkg.com/thread/498521/
- 分享自 LIHKG 討論區
我地之前提過，derivative係指出如果x增加少少，咁f(x)會增加幾多
所以我地就可以喺幅圖畫一條斜率為f'(a)嘅線
去估計f(x)喺a附近嘅值
例如我地可以估算f(x)=sin x喺x=0附近啲情況
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於是我地就可以就g(x)=x嚟做估算
咁我地見到，當x同0比較接近時，我地嘅估算相當準確
但係當x比較大嗰陣，誤差就會比較大
咁個問題喺邊呢?
就係喺x比較大嘅時候，f'(x)已經同f'(0)唔同
咁既然個斜率唔啱
我地又點會估得準呢
咁我地研究吓f'(x)同f'(0)究竟差幾遠:
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好似睇唔到啲咩...
咁我地就見到f'(0)=1係f'(x)喺0附近嘅一個好好嘅估算
其實係因為f''(0)=0
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同頭先一樣，當x比較大嘅時候，我地對f'(x)嘅估算嘅誤差開始變大
個原因就係x比較大嘅時候，f''(x)已經同f''(0)唔同
我地只係由研究f(x)變成研究f'(x)
咁既然個斜率唔啱
我地又點會估得準呢
於是，我地又研究吓f''(x)同f''(0)究竟差幾遠:
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咁我地就見到f''(0)嘅值唔係一個對f''(x)好準確嘅估算
所以我地要諗辦法修正佢
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我地見到f''(x)喺x=0嘅斜率(即係f'''(0))係-1
於是我地就諗一條簡單嘅function h，使到佢地有同樣嘅derivative,
即係h'''(0) = -1
咁我地咪可以修正到f(x)同g(x)之間嘅誤差囉
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一個好好嘅選擇就係h(x) = -x³/6 ，因為容易計
咁我地睇吓新嘅估算係點:
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效果唔錯
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依家我地嘅估算喺|x|<1嘅範圍內都幾準
雖然之後都係慘不忍睹:
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但係唔緊要
呢個我地可以繼續用同一個方法修正:
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咁我地就得到一條好似樣嘅function喇
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咁我地依家就總結吓我地做咗啲咩:
我地由 f(a)開始，我地有一個linear estimation
f(a) + f'(a)(x-a)
然後我地要加一個修正term h(x)，而呢個term要滿足h''(x) = f''(a), 同埋h(0)=h'(0)=0 (因為我地唔想搞亂前面嘅估算)
咁為咗方便起見，我地會揀一個polynomial
根據中學雞嘅知識，呢個polynomial會係 f''(a)(x-a)²/2
咁新嘅估算就係
f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2
如此類推
咁我地就得到一條series:
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咁呢條就叫做f(x)嘅Taylor series喇
既然講得估算，就梗係要講誤差啦
咁我地就有下面嘅theroem幫手:
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咁長唔想打，直接抄人算數
咁佢要講嘅就係Pn(x)同f(x)嘅誤差同佢就第n+1個derivative相關
所以當我地知道佢喺x同c之間呢個interval嘅bound
咁我地就可以計到Rn最大係幾多，即係誤差最大係幾多
Proof: 我地設M係一個數，使到
:^(
呢度x唔係variable, 我地想搵嘅係f喺x嘅值，所以M係一個constant
然後我地再寫
:^(
今次個t係variable喇
同我地就有g(x)=g(c)=0
然後用Rolle's Theorem (或者MVT, 是但啦) 就可以KO
搞掂
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我地依家小試牛刀，計吓喺x=1時，sin x 同我地頭先嗰個degree 9嘅polynomial嘅estimation差幾遠先:
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幾準吖，唔係咩
所以Taylor series係一個估算differentiable function嘅好辦法
除咗一樣野
就係佢唔係一定work
(雖然N賤嘅同學仔可以放心用，因為你地會見到嘅function都唔會出事)
我地睇吓呢個function
:^(
用L'Hôpital's Rule我地計到喺0呢一點，我地d幾多次都係得到0
即係話我地個Taylor series永遠都係0
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所以我地唔能夠透過Taylor series對f(x)嘅值作出精確估算
咁個根本原因就係Rn其實唔一定要converge to 0
只要f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)生得夠快，咁佢就會爆煲
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下集: Riemann Integral
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[數學普及] Measure Theory (測度論) 簡介 ver. 2
https://lihkg.com/thread/498521/
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