忒修斯之船
英國
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Edelschwarz
過完聖誕節
我地不如開個新topic
Calculus
自古以來(起碼都幾百年啦)，人類對於一條function嘅值點樣隨住input嘅改變而改變都十分有興趣，喺唔同嘅領域都有廣泛嘅應用
但係我地點定義呢樣野呢?
一個好小學
以f(x)=x²為例，我地可以揀兩點畫個slope出嚟
跟住數格仔
我地就會估算到
喺x=1同x=2之間，x每增加1, f(x)就大概增加3
仲記得搵slope嘅formula嗎
但係呢個估算都幾斷鳩估吓
我地點樣先可以令我地嘅估算更加準確呢
當我地考慮嘅區間愈嚟愈細
咁條function就愈嚟愈似直線
我地嘅對於呢一點嘅斜率就估得愈嚟愈準
咁點先最準呢?
就係當個區間嘅長度變成零嗰陣
但係，我地有個問題
就係擺落條slope formula，我地會得到 0/0
咁係計唔到野嘅
所以我地退而求其次
搵個limit塞住佢:
咁如果呢個limit存在，我地就話f(x) is differentiable at a
而呢個limit 我地就叫做derivative of f(x) at a，寫做f'(a)
其呢度講嘅野同你中學呀蛇講嘅野係一樣
我地知多咗嘅野只係個limit係點定義
喺我地計一條function嘅derivative之前，我地首先要確保佢存在
個證明其實一行就搞掂:
呢個正正就係我地上次講過嘅continuity嘅其中一個對等嘅定義
搞掂
但係呢條theorem係唔可以調轉行
i.e. continuous唔代表differentiable
一個常見嘅counter example有absolute value function
雖然佢係continuous，但係個derivative喺0係undefined
我地平時喺中學見到嘅continuous function，即使唔係everywhere differentiable，但係都至少somewhere differentiable
咁總體嚟講啱唔啱呢?
一個有趣嘅counterexample係Weierstrass function
好似股市走勢圖咁
條formula係咁嘅
咁呢條function係everywhere continuous but nowhere differentiable
唔證喇，自己玩飽佢
大家M1/M2嘅textbook入面都應該有講product rule/quotient rule/chain rule嗰啲
所以時間所限我就慳返唔講喇，
剩返落嚟嘅時間我地專注喺derivative嘅性質上面
一個幾suprising嘅野係雖然differentiable嘅野係continuous，但係d完之後得出嚟嘅function唔一定係continuous
所以一個有趣嘅問題就係derivative可以有幾樣衰
我地首先要一個中學有教嘅result:
Proof: Exercise
Hint: 諗吓左邊同右邊嘅limit
跟住我地有條比較複雜嘅定理
呢條theorem其實即係話條derivative function會穿過曬f'(a)同f'(b)之間嘅點(即使個derivative唔係continuous)
點證呢?
我地假設f'(a)<L<f'(b) (另一個case一樣做法，唔寫了)
咁我地可以整個新嘅function
咁g係continuous (因為f係continuous)
而且g'(a)<0, g'(b)>0
根據上次我地證嘅theorem，g(x)會有個minimum value g(c)
咁g'(c) = 0, 即係話 f'(c) = L
咁我地依家唯一要做嘅野就係確保c唔係a或者b
但由於g'(a)<0, g'(b)>0
我地可以肯定a同b唔係minimum Exercise!
所以c唔係a唔係b
搞掂
我地不如開個新topic
:^(
Calculus
自古以來(起碼都幾百年啦)，人類對於一條function嘅值點樣隨住input嘅改變而改變都十分有興趣，喺唔同嘅領域都有廣泛嘅應用
但係我地點定義呢樣野呢?
一個好小學
:^(
以f(x)=x²為例，我地可以揀兩點畫個slope出嚟
:^(
跟住數格仔
我地就會估算到
喺x=1同x=2之間，x每增加1, f(x)就大概增加3
仲記得搵slope嘅formula嗎
:^(
但係呢個估算都幾斷鳩估吓
:^(
我地點樣先可以令我地嘅估算更加準確呢
當我地考慮嘅區間愈嚟愈細
咁條function就愈嚟愈似直線
我地嘅對於呢一點嘅斜率就估得愈嚟愈準
:^(
咁點先最準呢?
就係當個區間嘅長度變成零嗰陣
:^(
但係，我地有個問題
:^(
就係擺落條slope formula，我地會得到 0/0
咁係計唔到野嘅
所以我地退而求其次
搵個limit塞住佢:
:^(
咁如果呢個limit存在，我地就話f(x) is differentiable at a
:^(
而呢個limit 我地就叫做derivative of f(x) at a，寫做f'(a)
其呢度講嘅野同你中學呀蛇講嘅野係一樣
我地知多咗嘅野只係個limit係點定義
喺我地計一條function嘅derivative之前，我地首先要確保佢存在
:^(
:^(
個證明其實一行就搞掂:
:^(
呢個正正就係我地上次講過嘅continuity嘅其中一個對等嘅定義
搞掂
:^(
但係呢條theorem係唔可以調轉行
i.e. continuous唔代表differentiable
:^(
一個常見嘅counter example有absolute value function
雖然佢係continuous，但係個derivative喺0係undefined
:^(
我地平時喺中學見到嘅continuous function，即使唔係everywhere differentiable，但係都至少somewhere differentiable
咁總體嚟講啱唔啱呢?
:^(
一個有趣嘅counterexample係Weierstrass function
好似股市走勢圖咁
:^(
條formula係咁嘅
:^(
咁呢條function係everywhere continuous but nowhere differentiable
唔證喇，自己玩飽佢
:^(
大家M1/M2嘅textbook入面都應該有講product rule/quotient rule/chain rule嗰啲
所以時間所限我就慳返唔講喇，
剩返落嚟嘅時間我地專注喺derivative嘅性質上面
一個幾suprising嘅野係雖然differentiable嘅野係continuous，但係d完之後得出嚟嘅function唔一定係continuous
:^(
所以一個有趣嘅問題就係derivative可以有幾樣衰
:^(
我地首先要一個中學有教嘅result:
:^(
Proof: Exercise
:^(
Hint: 諗吓左邊同右邊嘅limit
跟住我地有條比較複雜嘅定理
:^(
呢條theorem其實即係話條derivative function會穿過曬f'(a)同f'(b)之間嘅點(即使個derivative唔係continuous)
點證呢?
我地假設f'(a)<L<f'(b) (另一個case一樣做法，唔寫了)
咁我地可以整個新嘅function
:^(
咁g係continuous (因為f係continuous)
而且g'(a)<0, g'(b)>0
根據上次我地證嘅theorem，g(x)會有個minimum value g(c)
咁g'(c) = 0, 即係話 f'(c) = L
咁我地依家唯一要做嘅野就係確保c唔係a或者b
但由於g'(a)<0, g'(b)>0
我地可以肯定a同b唔係minimum Exercise!
:^(
所以c唔係a唔係b
搞掂
:^(
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Edelschwarz
Mean Value Theorem, L'Hôpital's Rule
講到同differentiation有關嘅theorem，呢兩條應該都算係最出名㗎喇
我地由一個弱版MVT開始:
其實個proof同頭先差唔多
繼續用continuous function on closed interval is bounded and attain its bounds呢條theorem
好長，不如我地叫佢做CFOCIIBAAIB
我地就有個bound m≤f(x)≤M
如果個minimum同maximum都係喺a,b呢兩個endpoint達到嘅話
咁呢條function就係constant，咁我地是但揀一點個derivative都係0, 輕鬆KO
如果唔係，咁條function就會喺a同b中間嘅一點c達到extremum
咁嗰條中學有教嘅theorem就話畀我地知f'(c)=0
搞掂
跟住我地就解鎖MVT嘅完全體(其實即係冇咗f(a)=f(b)嘅限制):
Proof: 我地創造一條新function
咁g(a)=g(b)，於是我地就可以對g使出Rolle's Theorem
敵将is Doctor Lee
點解MVT咁重要?
我地可以用佢嚟得到其他有用嘅fact，例如
Proof: 如果f唔係constant，咁我地就搵到兩點s,t使到f(s)≠f(t)
咁MVT就指出喺s,t中間有一點個derivative唔係0, 矛盾
搞掂
同埋如果f係differentiable on (a,b)，咁就會有
Proof: Exercise
記住(c),(d)唔係if and only if, 所以調轉行係唔work嘅
好喇，我地依家返嚟中學時代
要搵limit嘅時候，如果出現 0/0 嘅情況，咁老師就會叫
用L'Hôpital's Rule!
即使你係完全唔知點解佢work
所以我地喺度就講吓佢點解work啦
因為f,g係continuous，所以呢個假設代表f(c)=g(c)=0
於是
搞掂
至於其他scenario，例如∞/∞嘅case，我地就改為考慮1/f(x)同1/g(x)
用同一方法KO
下集:
講到同differentiation有關嘅theorem，呢兩條應該都算係最出名㗎喇
我地由一個弱版MVT開始:
:^(
其實個proof同頭先差唔多
繼續用continuous function on closed interval is bounded and attain its bounds呢條theorem
好長，不如我地叫佢做CFOCIIBAAIB
我地就有個bound m≤f(x)≤M
如果個minimum同maximum都係喺a,b呢兩個endpoint達到嘅話
咁呢條function就係constant，咁我地是但揀一點個derivative都係0, 輕鬆KO
如果唔係，咁條function就會喺a同b中間嘅一點c達到extremum
咁嗰條中學有教嘅theorem就話畀我地知f'(c)=0
搞掂
:^(
跟住我地就解鎖MVT嘅完全體(其實即係冇咗f(a)=f(b)嘅限制):
:^(
Proof: 我地創造一條新function
:^(
咁g(a)=g(b)，於是我地就可以對g使出Rolle's Theorem
敵将is Doctor Lee
:^(
點解MVT咁重要?
我地可以用佢嚟得到其他有用嘅fact，例如
:^(
Proof: 如果f唔係constant，咁我地就搵到兩點s,t使到f(s)≠f(t)
咁MVT就指出喺s,t中間有一點個derivative唔係0, 矛盾
搞掂
:^(
同埋如果f係differentiable on (a,b)，咁就會有
:^(
Proof: Exercise
:^(
記住(c),(d)唔係if and only if, 所以調轉行係唔work嘅
:^(
好喇，我地依家返嚟中學時代
要搵limit嘅時候，如果出現 0/0 嘅情況，咁老師就會叫
用L'Hôpital's Rule!
即使你係完全唔知點解佢work
所以我地喺度就講吓佢點解work啦
:^(
:^(
因為f,g係continuous，所以呢個假設代表f(c)=g(c)=0
於是
:^(
搞掂
:^(
至於其他scenario，例如∞/∞嘅case，我地就改為考慮1/f(x)同1/g(x)
用同一方法KO
下集:
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日向葵海（主唱）
自古以來(起碼都幾百年啦)，人類對於一條function嘅值點樣隨住input嘅改變而改變都十分有興趣，喺唔同嘅領域都有廣泛嘅應用
:^(
劉曉波
你個style 好中大feel
Proof : exercise
中大maths 出身的會明我講咩
差在未問大家「係咪好易？」 「係咩好簡單呢？」
「呢part trivial 」
Proof : exercise
:^(
中大maths 出身的會明我講咩
差在未問大家「係咪好易？」 「係咩好簡單呢？」
「呢part trivial 」
:^(