NuvoleBianche
2+2=4-1=3
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算子代數
Krill topology?
冇人理
有呀
起碼講起恐怖keywords嗰時有人提起analysis
analysts 會比較怕 Let epsilon < 0.
Let delta < 0 and k, N \in \mathbb{N} s.t. k > N
好彩analytic number theory唔使care呢啲bullshit
measure theory 成日都要 epsilon / 2^n trick
家家有本難諗的經
睇algebra嗰邊啲Galois cohomology睇到嘔血
Galois group都有topology係咩玩法
Krill topology?
算子代數
有呀
起碼講起恐怖keywords嗰時有人提起analysis
analysts 會比較怕 Let epsilon < 0.
Let delta < 0 and k, N \in \mathbb{N} s.t. k > N
好彩analytic number theory唔使care呢啲bullshit
measure theory 成日都要 epsilon / 2^n trick
家家有本難諗的經
睇algebra嗰邊啲Galois cohomology睇到嘔血
Galois group都有topology係咩玩法
Krull topology?
Elias
其實我地係度講埋呢D野會唔會嚇走哂D人
有呀
起碼講起恐怖keywords嗰時有人提起analysis
analysts 會比較怕 Let epsilon < 0.
Let delta < 0 and k, N \in \mathbb{N} s.t. k > N
好彩analytic number theory唔使care呢啲bullshit
measure theory 成日都要 epsilon / 2^n trick
家家有本難諗的經
睇algebra嗰邊啲Galois cohomology睇到嘔血
Galois group都有topology係咩玩法
Krull topology?
其實我地係度講埋呢D野會唔會嚇走哂D人
:^(
狐狸叔叔
會呀
Let delta < 0 and k, N \in \mathbb{N} s.t. k > N
好彩analytic number theory唔使care呢啲bullshit
measure theory 成日都要 epsilon / 2^n trick
家家有本難諗的經
睇algebra嗰邊啲Galois cohomology睇到嘔血
Galois group都有topology係咩玩法
Krull topology?
其實我地係度講埋呢D野會唔會嚇走哂D人
會呀
:^(
Elias
如果講下D奇怪counter example 會唔會高興D
Let delta < 0 and k, N \in \mathbb{N} s.t. k > N
好彩analytic number theory唔使care呢啲bullshit
measure theory 成日都要 epsilon / 2^n trick
家家有本難諗的經
睇algebra嗰邊啲Galois cohomology睇到嘔血
Galois group都有topology係咩玩法
Krull topology?
其實我地係度講埋呢D野會唔會嚇走哂D人
會呀
如果講下D奇怪counter example 會唔會高興D
:^(
Edelschwarz
啱呀
#metoo
analysts 會比較怕 Let epsilon < 0.
Let delta < 0 and k, N \in \mathbb{N} s.t. k > N
好彩analytic number theory唔使care呢啲bullshit
measure theory 成日都要 epsilon / 2^n trick
家家有本難諗的經
睇algebra嗰邊啲Galois cohomology睇到嘔血
Galois group都有topology係咩玩法
Krull topology?
啱呀
#metoo
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會考都無C
呢啲嘢真係要慢慢睇
邊睇邊思考，先有可能睇得明
當年睇書都起碼要睇三次先入到腦
睇第一次淨係攞到最表層嗰浸，學唔到啲乜嘢
所以睇唔明就睇多次啦
唔敢留言 因為太高深
唔高深㗎喇
毒撚大學math102 頭一個月既野黎
呢D其實係standard Honors Calculus I 的野
呢啲嘢真係要慢慢睇
邊睇邊思考，先有可能睇得明
:^(
當年睇書都起碼要睇三次先入到腦
:^(
睇第一次淨係攞到最表層嗰浸，學唔到啲乜嘢
所以睇唔明就睇多次啦
:^(
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Edelschwarz
圓圈入面畫一條線去圓圈出面，條線一定會掂到個圓圈
看似必然，但係又好似答唔出點解
上次我地定義咗continuity at a point
咁如果條function喺每一點都係continuous嘅話
我地就叫呢條function做continuous喇
係咪好理所當然先
跟住落嚟我地就睇吓一啲生活喺比較正常嘅domain嘅function, 例如 [a,b] 咁，我地叫呢啲做closed interval ( (a,b)就叫做open interval)
翻譯蒟蒻:
[a,b]代表滿足 a≤x≤b 嘅實數
如果我地想掉走個bound，我地就用"(" 代替 "["
例如 [a,b)代表滿足 a≤x<b嘅實數
如果我地要寫大過a嘅數，我地就寫(a,∞)
(我地用圓括號係因為冇∞呢個數)
神奇嘅事發生了:
如果條function喺個closed interval入面係continuous，咁佢就唔會爆炸
點證呢?
如果 f 係unbounded，咁對於任何M≥0, 我地都搵到 x 使到 |f(x)|>M
咁我地就可以整一條sequence {xn}出嚟，使到 |f(xn)|>n
咁Bolzano-Weierstrass Theorem(仲記得嗎
咁我地叫嗰條{xnk}嘅limit做L
依家我地睇吓f(L)
首先，因為 f 係continuous at L，所以 {f(xnk)} 一定converge去f(L)
但係根據我地{xnk}嘅定義，|f(xnk)|>k，所以
{f(xnk)}係divergent
「以子之矛陷子之楯，何如？」其人弗能應也。
如果我地得出嘅結果有矛盾，咁即係我地嘅假設( f 係unbounded)有錯
所以 f 唔可以係unbounded，換言之，f 係bounded
搞掂咗第一part
跟住我地就要prove條function真係掂到佢嘅bound
我地再一次用反證法
Reductio ad absurdum is one of a mathematician’s finest weapons. - G.H. Hardy
因為 f 係bounded，{f[a,b]}呢個set會有一個supremum t
{f[a,b]}係一個image set:
如果 f(x)=t 冇solution
咁我地考慮呢條function
咁 g 就會係一條continuous function
但由於t係{f[a,b]}嘅supremum
對於任意自然數n，我地都搵到 x 使到f(x)>t-1/n
即係話 g(x)>n
所以 g 係unbounded
但係我地啱啱先證明咗呢樣野唔可能發生
所以我地會搵到 x 使到 f(x)=t
同理，條function會掂到infinum (maximal lower bound)
搞掂
要注意嘅係就算你只係抹走咗個closed inverval入面其中一點(例如 [0,1] 變咗(0,1])，咁條theorem就唔work
一個反例係f(x)=1/x，佢喺(0,1]上面係continuous，但係佢唔係bounded
學數學一樣好重要嘅野
就係諗點解呢個證明對於呢個case係唔work
(我地好似從來冇喺個proof度講過"因為佢係一個closed interval，所以點點點"?)
咁點解呢?
當我地定義{xnk}嘅時候
佢個limit其實係0, 但係 0 唔喺個interval入面，所以你唔可以話因為 f is continuous at 0, 所以點點點
然後我地就講吓Intermediate Value Theorem (IVT) (因為好常用，所以我地畀個acronym佢)
佢要講嘅係如果條function一邊大過L，一邊細過L，咁f(x)=L一定會有答案
無錯，係可以多過一個嘅
如果f(a)<L<f(b) (另一個case證法一樣唔寫了)
我地整個新function: g(x):= f(x)-L
:=係define to be咁解
咁我地想證g(x)=0有答案
我地定義一個set
由於E係nonempty (a喺入面)同埋bounded (by b)，佢有個supremum，叫c
我地依家就證g(c)=0
如果唔係，咁g(c)<0或者g(c)>0
如果g(c) = -ϵ<0，咁因為 g 係continuous，我地會搵到個δ，使到g(c+δ)<-ϵ+ϵ=0
所以 c 唔係 E 嘅supremum，矛盾
同樣，如果g(c) = ϵ>0，咁我地會搵到個δ，使到g(c-δ)>ϵ-ϵ=0
所以c 唔係 E 嘅supremum (因為佢唔係"least" upper bound)，矛盾
所以g(c)一定要係0
搞掂
依家大家可以諗吓點解喺圓圈入面畫一條線去圓圈出面，條線一定會掂到個圓圈喇
:^(
圓圈入面畫一條線去圓圈出面，條線一定會掂到個圓圈
看似必然，但係又好似答唔出點解
上次我地定義咗continuity at a point
咁如果條function喺每一點都係continuous嘅話
我地就叫呢條function做continuous喇
:^(
係咪好理所當然先
跟住落嚟我地就睇吓一啲生活喺比較正常嘅domain嘅function, 例如 [a,b] 咁，我地叫呢啲做closed interval ( (a,b)就叫做open interval)
翻譯蒟蒻:
[a,b]代表滿足 a≤x≤b 嘅實數
如果我地想掉走個bound，我地就用"(" 代替 "["
例如 [a,b)代表滿足 a≤x<b嘅實數
如果我地要寫大過a嘅數，我地就寫(a,∞)
(我地用圓括號係因為冇∞呢個數)
神奇嘅事發生了:
:^(
如果條function喺個closed interval入面係continuous，咁佢就唔會爆炸
:^(
點證呢?
如果 f 係unbounded，咁對於任何M≥0, 我地都搵到 x 使到 |f(x)|>M
咁我地就可以整一條sequence {xn}出嚟，使到 |f(xn)|>n
:^(
咁Bolzano-Weierstrass Theorem(仲記得嗎
:^(
咁我地叫嗰條{xnk}嘅limit做L
依家我地睇吓f(L)
首先，因為 f 係continuous at L，所以 {f(xnk)} 一定converge去f(L)
但係根據我地{xnk}嘅定義，|f(xnk)|>k，所以
{f(xnk)}係divergent
「以子之矛陷子之楯，何如？」其人弗能應也。
如果我地得出嘅結果有矛盾，咁即係我地嘅假設( f 係unbounded)有錯
所以 f 唔可以係unbounded，換言之，f 係bounded
搞掂咗第一part
:^(
跟住我地就要prove條function真係掂到佢嘅bound
我地再一次用反證法
Reductio ad absurdum is one of a mathematician’s finest weapons. - G.H. Hardy
因為 f 係bounded，{f[a,b]}呢個set會有一個supremum t
{f[a,b]}係一個image set:
:^(
如果 f(x)=t 冇solution
咁我地考慮呢條function
:^(
咁 g 就會係一條continuous function
但由於t係{f[a,b]}嘅supremum
對於任意自然數n，我地都搵到 x 使到f(x)>t-1/n
即係話 g(x)>n
所以 g 係unbounded
但係我地啱啱先證明咗呢樣野唔可能發生
:^(
所以我地會搵到 x 使到 f(x)=t
同理，條function會掂到infinum (maximal lower bound)
搞掂
:^(
要注意嘅係就算你只係抹走咗個closed inverval入面其中一點(例如 [0,1] 變咗(0,1])，咁條theorem就唔work
:^(
一個反例係f(x)=1/x，佢喺(0,1]上面係continuous，但係佢唔係bounded
學數學一樣好重要嘅野
就係諗點解呢個證明對於呢個case係唔work
(我地好似從來冇喺個proof度講過"因為佢係一個closed interval，所以點點點"?)
:^(
咁點解呢?
當我地定義{xnk}嘅時候
佢個limit其實係0, 但係 0 唔喺個interval入面，所以你唔可以話因為 f is continuous at 0, 所以點點點
:^(
然後我地就講吓Intermediate Value Theorem (IVT) (因為好常用，所以我地畀個acronym佢)
:^(
佢要講嘅係如果條function一邊大過L，一邊細過L，咁f(x)=L一定會有答案
:^(
無錯，係可以多過一個嘅
如果f(a)<L<f(b) (另一個case證法一樣唔寫了)
我地整個新function: g(x):= f(x)-L
:=係define to be咁解
咁我地想證g(x)=0有答案
我地定義一個set
:^(
由於E係nonempty (a喺入面)同埋bounded (by b)，佢有個supremum，叫c
我地依家就證g(c)=0
:^(
如果唔係，咁g(c)<0或者g(c)>0
如果g(c) = -ϵ<0，咁因為 g 係continuous，我地會搵到個δ，使到g(c+δ)<-ϵ+ϵ=0
所以 c 唔係 E 嘅supremum，矛盾
同樣，如果g(c) = ϵ>0，咁我地會搵到個δ，使到g(c-δ)>ϵ-ϵ=0
所以c 唔係 E 嘅supremum (因為佢唔係"least" upper bound)，矛盾
所以g(c)一定要係0
搞掂
:^(
依家大家可以諗吓點解喺圓圈入面畫一條線去圓圈出面，條線一定會掂到個圓圈喇
:^(