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忒修斯之船
stat背書少過 maths n 倍，堆 theorem無咁重要嘅 regularity condition又唔珗點記，大 theorem嘅 proof又唔考
媽 好深呀
analysis好恐怖架, 唔好讀math major呀
但係唔想鳩背project present essay lab嘅話仲有咩科可以揀
stat?
印象中係鳩背為主
利申：淨係講過year one intro courses
stat背書少過 maths n 倍，堆 theorem無咁重要嘅 regularity condition又唔珗點記，大 theorem嘅 proof又唔考
:^(
:^(
九把罐頭刀
想去就去啦，有啲野now or never, 中大msc好似二月截止，十萬蚊興趣班黎姐，人地鐘意煮野食去報藍帶要百鳩幾萬，相對之下唔貴喇
好想做mature student入番去讀數
（啲中學師弟以為我當年走左去讀數，點鳩知係完全唔關事既科） :^(
LM學野
想去就去啦，有啲野now or never, 中大msc好似二月截止，十萬蚊興趣班黎姐，人地鐘意煮野食去報藍帶要百鳩幾萬，相對之下唔貴喇
:^(
:^(
Elias
By definition, -1 is additive inverse of 1, by definition, 1 - 1 = 1 + (-1) = 0
聽個數學代課講點prove1-1=0
聽到1999 好似好勁咁
啲女同學哇哇哇哇哇咁
By definition, -1 is additive inverse of 1, by definition, 1 - 1 = 1 + (-1) = 0
:^(
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會考都無C
哇
聽個數學代課講點prove1-1=0
聽到1999 好似好勁咁
啲女同學哇哇哇哇哇咁
By definition, -1 is additive inverse of 1, by definition, 1 - 1 = 1 + (-1) = 0
哇
:^(
Elias
乜野
聽個數學代課講點prove1-1=0
聽到1999 好似好勁咁
啲女同學哇哇哇哇哇咁
By definition, -1 is additive inverse of 1, by definition, 1 - 1 = 1 + (-1) = 0
哇
乜野
:^(
狐狸叔叔
first we have zero 0 and succ function
definition of 1: succ(0)
definition of 2: succ(1)=succ(succ(0))
addition is define recursively by:
a + 0 = a
a + succ(b) = succ(a+b)
Then , 1+1=1+succ(0)=succ(1+0)=succ(1)=2
1+1=2係咪冇得prove
因為哩個係axiom? :^(
2的定義係1+1
first we have zero 0 and succ function
definition of 1: succ(0)
definition of 2: succ(1)=succ(succ(0))
addition is define recursively by:
a + 0 = a
a + succ(b) = succ(a+b)
Then , 1+1=1+succ(0)=succ(1+0)=succ(1)=2
永遠懷念版主
聽category講話所有野都有一個相對既自己，同自己相加會變「零」，另一個同自己相乘會變「一」
利申 睇完wiki完全唔知佢講咩
聽個數學代課講點prove1-1=0
聽到1999 好似好勁咁
啲女同學哇哇哇哇哇咁
中學
聽category講話所有野都有一個相對既自己，同自己相加會變「零」，另一個同自己相乘會變「一」
利申 睇完wiki完全唔知佢講咩
:^(
:^(
Elias
Category 只係一堆 abstract nonsense
聽個數學代課講點prove1-1=0
聽到1999 好似好勁咁
啲女同學哇哇哇哇哇咁
中學
聽category講話所有野都有一個相對既自己，同自己相加會變「零」，另一個同自己相乘會變「一」
利申 睇完wiki完全唔知佢講咩
Category 只係一堆 abstract nonsense
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Edelschwarz
呢個問題用唔著Cat theory掛...
聽個數學代課講點prove1-1=0
聽到1999 好似好勁咁
啲女同學哇哇哇哇哇咁
中學
聽category講話所有野都有一個相對既自己，同自己相加會變「零」，另一個同自己相乘會變「一」
利申 睇完wiki完全唔知佢講咩
Category 只係一堆 abstract nonsense
呢個問題用唔著Cat theory掛...
Edelschwarz
跟住落嚟要講嘅，可能係最多讀analysis嘅同學中過嘅伏...
大家讀緊幼稚園嘅時候，老師都會話你知，加法嘅順序係唔影響結果嘅
即係1+2+3+4係10, 咁3+1+4+2都係10
咁當我地有一條sequence {an}, 如果我地用唔同順序去加曬啲數:
咁根據幼稚園小朋友嘅知識，佢地加埋一定一樣啦
咁我地不如就屎忽痕驗證吓:
呢度S1就係上個post最尾嗰個example
而S2同S1嘅分別就係我地每加兩個term先減一個term
咁我地計吓佢地頭n個term嘅partial sum:
咁我地見到S1似乎趨向~0.6931
而S2就趨向~1.0397
補充資料: S1 = ln 2, S2 = 3(ln 2)/2
問題嚟喇，點解佢地唔同嘅
唔通幼稚園嘅真理係唔適用於series?
如果幼稚園方法都行得通，
咁讀幼稚園得啦，唔使讀大學啦
為咗要解決呢個數學危機，我地需要一啲新工具:
absolutely convergent嘅意思即係就算我地加曬啲absolute value都唔會爆炸
會爆炸嗰啲就係conditionally convergent
例子:
2-series係absolutely convergent(因為所有term都係正數，攞唔攞absolute value都冇分別)
而上面嘅S1就係conditionally convergent(攞absolute value就變咗會爆炸嘅Harmonic series)
咁呢兩種series有咩分別呢
答案就係喺幼稚園教落嘅定律行唔行得通
如果個series係absolutely convergent, 咁我地用咩順序加啲terms都殊途同歸:
假設{an} converge去A，同埋係absolutely convergent
咁對於是但一個ϵ，我地都搵到一個N，使到當n, q≥N時，
(sn繼續代表partial sum)
依家考慮另一個排列{bn}，同佢嘅partial sum {tn}
咁我地一定會搵到一個M，令{an}嘅頭N個term都裝喺{bn}嘅頭M個term入面 (因為N係有限數，我地逐個逐個term執返就得)
咁當m≥M時，tm比起sN就多咗一堆喺aN之後嘅term，而根據我地嘅假設，呢堆多咗出嚟嘅term加埋係細過ϵ
跟住就可以揮動我地嘅寶劍(aka triangle inequality)
所以{tn}都係converge去A
搞掂
如果你說服唔到自己點解<ϵ同<2ϵ係一樣，可以諗吓change of variable，將2ϵ變成ϵ
如果個series係conditionally convergent嘅話，調亂啲順序又會點呢
畀啲空間你地估吓
...
...
...
...
...
我地可以透過調亂啲順序，令佢converge去任何一個實數，仲可以令佢diverge去+/- ∞
要證明呢樣野，只要搵到相應嘅rearrangement就得囉
係咪好簡單先
我地首先要留意一樣野，就係conditionally convergent series入面嘅正數加埋會diverge, 同樣地負數加埋都會diverge
諗吓點解?
於是我地就可以將條sequence分做兩個subsequences
{cn}裝住≥0嘅term
{dn}裝住<0嘅term
咁大家要記得呢兩個series都係divergent嘅，但係{cn}同{dn}都趨向0 (唔係嘅話{an}唔會converge)
所以對於任何實數r
如果之前嘅term加埋係細過r, 咁我地就擺多一個喺ck落去
如果之前嘅term加埋係大過r, 咁我地就擺多一個喺dk落去
咁得出嚟嘅partial sum就會喺r附近徘徊
而因為{cn}同{dn}都趨向0, 所以呢個series係會converge去r嘅
Exercise: Prove this
至於diverge去+/- ∞就仲簡單
因為{cn},{dn}都係divergent嘅，所以對於任何 m, n, 我地都搵到一個p，使到
咁只要我地塞足夠多嘅ck喺兩個dk中間
我地就可以令佢diverge to +∞
同樣地，我地可以塞足夠多嘅dk喺兩個ck中間，令佢diverge to -∞
搞掂
下回預告: 會見到ε, δ呢兩個字母
大家讀緊幼稚園嘅時候，老師都會話你知，加法嘅順序係唔影響結果嘅
即係1+2+3+4係10, 咁3+1+4+2都係10
:^(
咁當我地有一條sequence {an}, 如果我地用唔同順序去加曬啲數:
:^(
咁根據幼稚園小朋友嘅知識，佢地加埋一定一樣啦
咁我地不如就屎忽痕驗證吓:
:^(
呢度S1就係上個post最尾嗰個example
而S2同S1嘅分別就係我地每加兩個term先減一個term
咁我地計吓佢地頭n個term嘅partial sum:
:^(
咁我地見到S1似乎趨向~0.6931
而S2就趨向~1.0397
補充資料: S1 = ln 2, S2 = 3(ln 2)/2
問題嚟喇，點解佢地唔同嘅
:^(
唔通幼稚園嘅真理係唔適用於series?
如果幼稚園方法都行得通，
咁讀幼稚園得啦，唔使讀大學啦
為咗要解決呢個數學危機，我地需要一啲新工具:
:^(
absolutely convergent嘅意思即係就算我地加曬啲absolute value都唔會爆炸
會爆炸嗰啲就係conditionally convergent
例子:
2-series係absolutely convergent(因為所有term都係正數，攞唔攞absolute value都冇分別)
而上面嘅S1就係conditionally convergent(攞absolute value就變咗會爆炸嘅Harmonic series)
咁呢兩種series有咩分別呢
:^(
答案就係喺幼稚園教落嘅定律行唔行得通
:^(
如果個series係absolutely convergent, 咁我地用咩順序加啲terms都殊途同歸:
:^(
假設{an} converge去A，同埋係absolutely convergent
咁對於是但一個ϵ，我地都搵到一個N，使到當n, q≥N時，
:^(
(sn繼續代表partial sum)
依家考慮另一個排列{bn}，同佢嘅partial sum {tn}
咁我地一定會搵到一個M，令{an}嘅頭N個term都裝喺{bn}嘅頭M個term入面 (因為N係有限數，我地逐個逐個term執返就得)
咁當m≥M時，tm比起sN就多咗一堆喺aN之後嘅term，而根據我地嘅假設，呢堆多咗出嚟嘅term加埋係細過ϵ
:^(
跟住就可以揮動我地嘅寶劍(aka triangle inequality)
:^(
所以{tn}都係converge去A
搞掂
:^(
如果你說服唔到自己點解<ϵ同<2ϵ係一樣，可以諗吓change of variable，將2ϵ變成ϵ
:^(
如果個series係conditionally convergent嘅話，調亂啲順序又會點呢
:^(
畀啲空間你地估吓
...
...
...
...
...
我地可以透過調亂啲順序，令佢converge去任何一個實數，仲可以令佢diverge去+/- ∞
:^(
要證明呢樣野，只要搵到相應嘅rearrangement就得囉
係咪好簡單先
我地首先要留意一樣野，就係conditionally convergent series入面嘅正數加埋會diverge, 同樣地負數加埋都會diverge
諗吓點解?
於是我地就可以將條sequence分做兩個subsequences
{cn}裝住≥0嘅term
{dn}裝住<0嘅term
咁大家要記得呢兩個series都係divergent嘅，但係{cn}同{dn}都趨向0 (唔係嘅話{an}唔會converge)
所以對於任何實數r
如果之前嘅term加埋係細過r, 咁我地就擺多一個喺ck落去
如果之前嘅term加埋係大過r, 咁我地就擺多一個喺dk落去
咁得出嚟嘅partial sum就會喺r附近徘徊
而因為{cn}同{dn}都趨向0, 所以呢個series係會converge去r嘅
Exercise: Prove this
:^(
至於diverge去+/- ∞就仲簡單
因為{cn},{dn}都係divergent嘅，所以對於任何 m, n, 我地都搵到一個p，使到
:^(
咁只要我地塞足夠多嘅ck喺兩個dk中間
:^(
我地就可以令佢diverge to +∞
同樣地，我地可以塞足夠多嘅dk喺兩個ck中間，令佢diverge to -∞
搞掂
:^(
下回預告: 會見到ε, δ呢兩個字母
:^(
印象中係鳩背為主
利申：淨係講過year one intro courses