Ads
Ads
Ads
Edelschwarz
又到咗學寫鬼畫符嘅時間
下面呢個就係一條數列(sequence)嘅定義
我地首先要揀一個集 S，通常係一堆數字，所以我地叫佢做數列
如果咁唔好彩 S唔係裝住一堆數，中文好似係叫序列而唔係數列
因為我地呢度係講實數，做實事，我地只會討論當S係實數集R嘅情況
我地仲見到一個好大隻嘅N，佢喺呢度係代表正整數(or 自然數)嘅集 (set of natural numbers)
各處鄉村各處例，有啲地方中意由0開始，不過我地會由1開始
N係自然數 1, 2, 3, ...
Z係整數(即係有正有負有零)
Q係有理數(上次提過，係兩整數相除所得到嘅分數，例如 -1/2, 113/355 之類)
R係實數(即係我地上次見到嘅數綫)
C係複數(可以有i嘅出現)
N for natural, Z for Zahl (德文出沒注意), Q for quotient, R for real, C for complex
於是我地嘅數列就係一個函數(function)
function個意思我諗大家都見過
就係你畀一舊野佢，佢會嘔返一舊野出嚟
咁上面幅圖個意思就係
我地喺N入面揀一樣野(即係一個正整數), 咁佢就會嘔返一樣喺S入面嘅野
咁我地由1開始逐個逐個正整數塞入去個function到，我地就會有一條好整齊嘅數列:
f(1), f(2), f(3), f(4), ...
例如當 f(n) = n² 時，我地嘅數列會係咁嘅樣:
1, 4, 9, 16, 25, ...
而{an}就係我地用嚟代表數列嘅寫法，同一條sequence我地通常係寫 {an} = n²
下面呢個就係一條數列(sequence)嘅定義
:^(
我地首先要揀一個集 S，通常係一堆數字，所以我地叫佢做數列
如果咁唔好彩 S唔係裝住一堆數，中文好似係叫序列而唔係數列
因為我地呢度係講實數，做實事，我地只會討論當S係實數集R嘅情況
我地仲見到一個好大隻嘅N，佢喺呢度係代表正整數(or 自然數)嘅集 (set of natural numbers)
各處鄉村各處例，有啲地方中意由0開始，不過我地會由1開始
:^(
:^(
:^(
N係自然數 1, 2, 3, ...
Z係整數(即係有正有負有零)
Q係有理數(上次提過，係兩整數相除所得到嘅分數，例如 -1/2, 113/355 之類)
R係實數(即係我地上次見到嘅數綫)
C係複數(可以有i嘅出現)
N for natural, Z for Zahl (德文出沒注意), Q for quotient, R for real, C for complex
於是我地嘅數列就係一個函數(function)
function個意思我諗大家都見過
就係你畀一舊野佢，佢會嘔返一舊野出嚟
咁上面幅圖個意思就係
我地喺N入面揀一樣野(即係一個正整數), 咁佢就會嘔返一樣喺S入面嘅野
咁我地由1開始逐個逐個正整數塞入去個function到，我地就會有一條好整齊嘅數列:
f(1), f(2), f(3), f(4), ...
例如當 f(n) = n² 時，我地嘅數列會係咁嘅樣:
1, 4, 9, 16, 25, ...
而{an}就係我地用嚟代表數列嘅寫法，同一條sequence我地通常係寫 {an} = n²
Edelschwarz
希望上面嘅定義唔會悶親大家
我都覺得好長氣
講到數列，數學家最關心嘅野係佢會唔會趨向一個數
聽落好似好奇怪，我地點解要關心呢樣野嘅
咁係因為呢個特質對解決好多數學問題都好有用
例如我地想知點解
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
永遠都唔會變無限大
我地就可以寫一個數列(將頭n個數加埋)
1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375, ...
如果呢個數列係趨向一個數
咁佢咪唔會加到無限大囉係咪好醒先
不過，有個好重要嘅問題
就係一條數列點先算趨向一個數?
其實我地可以試吓由常理出發，考吓自己嘅直覺係點判斷
大家可以諗吓下面嘅數列係咪趨向一個數，如果係，咁佢係趨向邊個數?
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ...
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...
1, 0, 1/2, 0, 1/3, 0, 1/4, 0, 1/5, ...
1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ... (第n個1之後有n個0)
如無意外，大家嘅答案應該會係
No
Yes, 0
No
Yes, 0
No
如果你嘅答案同我唔同，即係你諗野嘅方法同常人有啲分別
有冇諗過做哲學家?
於是我地可以歸納到個條件就係
1. 只要我地不斷數落去，我地想幾近個數都得
2. 唔畀彈出又彈入 (最尾嗰題就fail咗呢樣)
於是我地可以將呢兩個條件寫成鬼畫符:
翻譯蒟蒻:
A sequence {an} converges to L if (for all) ϵ>0, (there exists) a natural number N such that |an - L|<ϵ (for all) n≥N.
係咪開始有啲難度
呢句入面嘅ϵ就係我地'想幾近就幾近'嘅概念
我地求其畀一個距離ϵ(0.0000001又得，再細啲亦得)
咁呢個數列第N個term打後嘅數同L嘅距離都係細過ϵ
呢個條件同時禁止咗彈出又彈入，因為第N個term打後嘅數都走唔出L-ϵ同L+ϵ嘅五指山
於是我地成功封印咗孫悟空喇
如果一條數列滿足上面嘅條件，我地就叫佢收斂(convergent), 如果唔係，我地就叫佢發散(divergent)
咁喺定義入面呢個L都係好重要嘅，所以我地都要畀個名佢，叫做{an}嘅極限(limit)通常我地會咁寫:
喺divergent嘅數列之中，有一種比較特別嘅數列，啲數字會逐漸變得越嚟越大，例子有:
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
1, 4, 2, 8, 4, 16, 8, 32, 16, 64, ... (乘4, 除2, 無限loop)
我地就叫呢種數列diverges to positive infinity，用鬼畫符寫就係:
呢個就當係翻譯練習啦
同樣，我地可以定義咩為之 diverges to negative infinity
鬼畫符寫作練習
講住咁多先
下集我地終於開始見到有定義同翻譯蒟蒻以外嘅野
我都覺得好長氣
:^(
講到數列，數學家最關心嘅野係佢會唔會趨向一個數
聽落好似好奇怪，我地點解要關心呢樣野嘅
:^(
咁係因為呢個特質對解決好多數學問題都好有用
例如我地想知點解
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
永遠都唔會變無限大
我地就可以寫一個數列(將頭n個數加埋)
1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375, ...
如果呢個數列係趨向一個數
咁佢咪唔會加到無限大囉係咪好醒先
不過，有個好重要嘅問題
就係一條數列點先算趨向一個數?
:^(
其實我地可以試吓由常理出發，考吓自己嘅直覺係點判斷
大家可以諗吓下面嘅數列係咪趨向一個數，如果係，咁佢係趨向邊個數?
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ...
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...
1, 0, 1/2, 0, 1/3, 0, 1/4, 0, 1/5, ...
1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ... (第n個1之後有n個0)
如無意外，大家嘅答案應該會係
No
Yes, 0
No
Yes, 0
No
如果你嘅答案同我唔同，即係你諗野嘅方法同常人有啲分別
有冇諗過做哲學家?
於是我地可以歸納到個條件就係
1. 只要我地不斷數落去，我地想幾近個數都得
2. 唔畀彈出又彈入 (最尾嗰題就fail咗呢樣)
於是我地可以將呢兩個條件寫成鬼畫符:
:^(
翻譯蒟蒻:
A sequence {an} converges to L if (for all) ϵ>0, (there exists) a natural number N such that |an - L|<ϵ (for all) n≥N.
係咪開始有啲難度
:^(
呢句入面嘅ϵ就係我地'想幾近就幾近'嘅概念
我地求其畀一個距離ϵ(0.0000001又得，再細啲亦得)
咁呢個數列第N個term打後嘅數同L嘅距離都係細過ϵ
呢個條件同時禁止咗彈出又彈入，因為第N個term打後嘅數都走唔出L-ϵ同L+ϵ嘅五指山
於是我地成功封印咗孫悟空喇
如果一條數列滿足上面嘅條件，我地就叫佢收斂(convergent), 如果唔係，我地就叫佢發散(divergent)
咁喺定義入面呢個L都係好重要嘅，所以我地都要畀個名佢，叫做{an}嘅極限(limit)通常我地會咁寫:
:^(
喺divergent嘅數列之中，有一種比較特別嘅數列，啲數字會逐漸變得越嚟越大，例子有:
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
1, 4, 2, 8, 4, 16, 8, 32, 16, 64, ... (乘4, 除2, 無限loop)
我地就叫呢種數列diverges to positive infinity，用鬼畫符寫就係:
:^(
呢個就當係翻譯練習啦
同樣，我地可以定義咩為之 diverges to negative infinity
鬼畫符寫作練習
講住咁多先
下集我地終於開始見到有定義同翻譯蒟蒻以外嘅野
:^(
:^(
:^(
咁呢個post我會講吓呢個範疇嘅基本概念(即係所有mathematical analysis course都會有嘅野)，畀大家了解吓究竟呢班癡線佬做緊乜
同埋等中學雞唔好誤入岐途
雖然呢度係講中文，但係為咗方便大家google(同埋我自己打)，啲數學名詞都係會用返英文(如果我知隻字中文係咩我會打一次出嚟
我估我大概會講吓下面呢啲比較有趣嘅問題:
點解1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...會加到無限大，但
1+ 1/2² + 1/3² + 1/4² + ...就唔會
(睇吓反應如何)可能會講吓微積分嘅概念呢啲
不過我地首先要打好基本功
不如就由real number(實數)開始講起啦咁
Real number 係咁嘅樣嘅
喺呢條線上面就有好多好多數字嘅(比無限仲要多，遲啲再講)，有整數1, 2, 3, -123456789, ..., 有分數 1/2, 2/3, ..., (我地叫呢啲做有理數(rational number)), 仲有啲無得寫成兩個整數相除嘅無理數(irrational number)，就好似π, e, log 2 等等。
咁我地發現實數係滿足一定條件嘅(無得證, 換言之呢啲條件係實數嘅定義):
1. 滿足我地平時加減乘除嘅規則(例如唔畀除零) - Field axiom
2. 兩個正數相加係正數, 兩個正數相乘係正數, 同埋(trichotomy law)求其畀兩個數a,b你, 咁下面三句說話一定有一句係啱:
a>b, a=b, a<b (聽落係咪好廢呢
呢度夾埋就叫做 Order axiom
3. 喺一堆有上限嘅數(我地叫呢一堆數做一個數集(set)，通常用S去代表)入面，存在最小上限(supremum) - Completeness Axiom
你可能會問，究竟最尾嗰條axiom係噏乜鳩
要好清楚咁講，就梗係要畀個定義嚟跟吓先啦
咁我地首先要定義咩為之上限:(upper bound)大過曬啲數咪係囉
如果一個數a係大過個set入面所有嘅數, 咁a就係一個upper bound
用鬼畫符就係咁寫嘅:
因為數學家(以及普遍嘅數學學生)係好懶嘅，佢地成日都會將啲字用符號代表
其實佢地想講嘅野係
"a is an upper bound of a set S if a>s (for all) s (in) S."
我估咁樣會易明啲掛...?
我地定義完上限之後，就可以定義S嘅最小上限(叫做sup S)喇
其實個定義好on9, 就係:
1. a係S嘅一個上限
2. 如果b係S嘅另一個上限，咁b≥a
真係好廢
講咗咁多廢話，有冇啲例子睇吓呢?
sup{1,2,3}=3 （我諗呢個唔使解掛...)
{1,2,3,4,5,...} 冇supremum（因為佢冇上限）
複雜少少嘅有
sup{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,...}=1
我地見到1係大過曬入面嘅數，所以1係一個upper bound
但係任何一個細過1嘅數x，我地都可以喺個set入面搵到個數係大過x (點解嘅?點解嘅?)
所以1真係最細嘅upper bound
講咗咁耐，究竟completeness axiom係有咩用嘅?
我地就諗吓下面呢個例子:
又係講解鬼畫符嘅時間
我地會用一個大括號去表示入面裝住嘅野係一個set，而入面嘅結構係咁嘅
{ 一堆候選物件(可以係數字，可以係其他野，甚至可以係另一個set) ｜需要滿足嘅條件}
而我地喺入面見到一個好粗嘅Q係代表住有理數集(set of rational numbers)(即係所有分數)
所以呢行鬼畫符要講嘅野係:
"S is a set of rational numbers x satisfying x²<2"
就我地喺中學學過嘅野，我地知道
呢個就係completeness axiom存在嘅意義，因為喺有理數入面，我地唔會搵到一個最小上限，而呢個axiom就指出我地係實數入面一定搵得到
所以呢個係實數與生俱來嘅特性
講咗咁耐定義，到底有咩用啫
我地下次就會講吓數列(sequences)
一個數列，其實就係一堆排好隊嘅數(要注意嘅係條隊要無限長)
例如有好出名嘅Fibonacci sequence:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
可以係無限個零:
0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
甚至做健身操會嗌嘅數字:
1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, ...
我地下次就會睇吓呢啲數列嘅特性，今次打住咁多先