natural number->integer

natural number同integer嘅分別就只係integer多咗啲負數，但依家得natural number同埋加法，乘法，好似唔知應該點樣製造啲負數

最簡單嘅諗法就係對於任何一個natural number n,你格硬定義一個object做(-n),令到n+(-n)=0，其實咁樣做係work，但畢竟數學上都係想由set construct

結果啲人就咁樣定義整數：整數其實就係一pair natural number (a,b),而我哋會將佢諗成係a-b

不過咁樣定義會有個問題，因為我哋想2-1=3-2,即係想(2,1)同(3,2)係兩個一模一樣嘅嘢，但實際上佢哋唔一樣

所以就要搵方法令到依兩樣嘢變成同一樣嘢，其中一個可行方法就係定義(a,b),(c,d)做「相同」如果a+d=b+c（其實係將佢諗成a-b=c-d,但理論上natural number冇定義到減法唔可以咁寫）

用呢個定義，(2,1)同(3,2)就變咗同一個integer

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（識數嘅人勿怒插，我唔想講equivalence relations講到太precise

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)

呢個時候，就可以定義加法同乘法：
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)(c,d)=(ac+bd,ad+bc)

咁就construct完integer

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下個post講integers->rational number

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Equivalence relations我識

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讀完consumer冇理由唔識

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btw 金絲雀

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econ會用到Equivalence relations?

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basic decision-making係compare 兩個選擇, say x and y
最基礎的foundation係假設有個binary relation R
R就排列所有可能的選擇pair, 所以x R y 即係 x正過y
換言之, R 係model "preference"
R會induce "~": define x~y iff xRy and yRx
當R滿足一些基本假設, ~就會係equivalence relation

x正過y 唔係partial ordering?

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rational->real

依部係最難而且最抽象

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用rational number construct real number主要有兩種方法，一係dedekind cut,二係cauchy sequence，由於後者相對冇咁抽象而且比較實用，我諗講後者算

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眾所周知第一次數學危機就係發現開方2唔係有理數，之後就發現其實好多數字都唔係有理數，例如pi,e等等，依堆數字除咗唔係有理數就冇乜共通點，所以要由rational number construct返佢哋出嚟好似好難

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但其實依堆數字都有個共通點，就係佢哋都可以用rational number嚟approximate,例如我哋會成日當3.14做pi算

cauchy個概念就係將real number睇做一個sequence of rational numbers，例如pi可以睇做
(3, 3.1, 3.14, 3.141, 3,1415,...)
依串數字會慢慢趨向pi

但咁樣定義都有同先前嘅同一個問題，就係兩個sequence可以趨向同一個數字，例如
(0, 0.9, 0.99, 0.999,....)
(1, 1, 1, 1, 1,...)
上面係趨向0.999....，後者趨向1，但眾所周知0.999...等於1，所以其實呢兩串數字係代表同一個real number

於是又要定義兩串sequence幾時相同，個定義就係(x1,x2,x3,...)同(y1,y2,y3,...)係一樣如果(x1-y1,x2-y2,x3-y3,....)會趨向0

就係咁，我哋就construct到real number

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quote人post當講完最後嗰步，唔打喇

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quote人post當講完最後嗰步，唔打喇

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最麻煩係completion同由peano axiom整N, 其他條橋幾乎一樣

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其實N整Z幾得意
Q整R解釋都覺得煩

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quote人post當講完最後嗰步，唔打喇

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最麻煩係completion同由peano axiom整N, 其他條橋幾乎一樣

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其實N整Z幾得意
Q整R解釋都覺得煩

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所以d real analysis書直接define做 complete ordered field + least upper bound
property 算

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唔係最後都係要prove返兩個definition equivalent咩

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quote人post當講完最後嗰步，唔打喇

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最麻煩係completion同由peano axiom整N, 其他條橋幾乎一樣

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其實N整Z幾得意
Q整R解釋都覺得煩

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所以d real analysis書直接define做 complete ordered field + least upper bound
property 算

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唔係最後都係要prove返兩個definition equivalent咩

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呢樣野留番比algebra佬玩, analysis 唔太care

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btw 我成日覺得堆construction係有D馬後炮成份

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係馬後砲，因為除咗real number成件事只係用set theory補返個底

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